由球面x^2+y^2+z^2=9与旋转锥面x^2+y^2=8z^2之间包含z轴的部分的体积V=( )A. 144piB. 36piC. 72piD. 24pi

本题考查利用三重积分求空间立体的体积，解题思路是先确定立体在空间中的范围，然后选择合适的坐标系进行积分计算。

步骤一：联立方程求交线

联立球面方程$x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$与旋转锥面方程$x^{2}+y^{2}=8z^{2}$，将$x^{2}+y^{2}=8z^{2}$代入球面方程可得：
$8z^{2}+z^{2}=9$
$9z^{2}=9$
解得$z = \pm1$。
当$z = 1$时，$x^{2}+y^{2}=8$；当$z = -1$时，$x^{2}+y^{2}=8$。

步骤二：选择合适的坐标系

由于立体具有旋转对称性，采用柱坐标变换$\left\{\begin{array}{l}x = r\cos\theta\\y = r\sin\theta\\z = z\end{array}\right.$，此时$dV = rdzdrd\theta$。
在柱坐标下，球面方程变为$r^{2}+z^{2}=9$，即$r=\sqrt{9 - z^{2}}$；旋转锥面方程变为$r^{2}=8z^{2}$，即$r = 2\sqrt{2}|z|$。

步骤三：确定积分限

• 对于$\theta$，由于是绕$z$轴旋转一周，所以$\theta$的范围是$[0,2\pi]$。
• 对于$z$，由前面计算可知$z$的范围是$[-1,1]$。
• 对于$r$，$r$的下限是$0$，上限是球面与锥面中$r$较大的值，在$[-1,1]$上，$r$的上限为$\sqrt{9 - z^{2}}$。

步骤四：计算体积

根据三重积分求体积公式$V=\iiint_{\Omega}dV$，可得：
$\begin{align*}V&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{-1}^{1}dz\int_{0}^{\sqrt{9 - z^{2}}}r dr\\&=2\pi\int_{-1}^{1}\left[\frac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{\sqrt{9 - z^{2}}}dz\\&=\pi\int_{-1}^{1}(9 - z^{2})dz\\&=\pi\left(9z-\frac{1}{3}z^{3}\right)\big|_{-1}^{1}\\&=\pi\left[\left(9\times1-\frac{1}{3}\times1^{3}\right)-\left(9\times(-1)-\frac{1}{3}\times(-1)^{3}\right)\right]\\&=\pi\left[\left(9-\frac{1}{3}\right)-\left(-9+\frac{1}{3}\right)\right]\\&=\pi\left(9-\frac{1}{3}+9-\frac{1}{3}\right)\\&=\pi\left(18-\frac{2}{3}\right)\\&=\pi\times\frac{54 - 2}{3}\\&=\frac{52\pi}{3}\end{align*}$
发现以上计算有误，重新分析$r$的范围，在$[-1,1]$上，$r$的上限应该是$\sqrt{9 - z^{2}}$，下限是$2\sqrt{2}|z|$，则：
$\begin{align*}V&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{-1}^{1}dz\int_{2\sqrt{2}|z|}^{\sqrt{9 - z^{2}}}r dr\\&=2\pi\int_{-1}^{1}\left[\frac{1}{2}r^{2}\right]_{2\sqrt{2}|z|}^{\sqrt{9 - z^{2}}}dz\\&=\pi\int_{-1}^{1}((9 - z^{2})-8z^{2})dz\\&=\pi\int_{-1}^{1}(9 - 9z^{2})dz\\&=\pi\left(9z - 3z^{3}\right)\big|_{-1}^{1}\\&=\pi\left[(9\times1 - 3\times1^{3})-(9\times(-1)-3\times(-1)^{3})\right]\\&=\pi\left[(9 - 3)-(-9 + 3)\right]\\&=\pi(6 + 6)\\&= 24\pi\end{align*}$