(15)lim _(xarrow 0)dfrac (1-cos 2x)(xsin x)

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是利用三角恒等式或等价无穷小替换简化表达式的能力。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，分子$1 - \cos 2x$和分母$x \sin x$均趋近于0，属于$\dfrac{0}{0}$型不定式。可通过以下两种方法解决：

1. 三角恒等式：将$1 - \cos 2x$转化为$\sin^2 x$的形式，简化后约分。
2. 等价无穷小替换：利用$1 - \cos 2x \sim 2x^2$和$\sin x \sim x$直接替换。

破题关键点：
选择合适的方法快速化简表达式，避免复杂的求导运算。

步骤1：利用三角恒等式化简分子
根据双角公式，$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$，因此：
$1 - \cos 2x = 2\sin^2 x.$

步骤2：代入原式并约分
将分子替换为$2\sin^2 x$，分母保持原式：
$\lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2 x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin x}{x}.$

步骤3：应用等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，因此：
$\dfrac{2\sin x}{x} \sim \dfrac{2x}{x} = 2.$

最终结果：
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 2x}{x \sin x} = 2.$