求极限 lim_(x to +infty) (3^x + 9^x)^(1)/(x)

我们要求的极限是：

$\lim_{x \to +\infty} (3^x + 9^x)^{\frac{1}{x}}$

第一步：化简表达式

注意到 $ 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 $，所以我们可以将括号内的表达式写成：

$3^x + 9^x = 3^x + (3^x)^2$

令 $ a = 3^x $，那么表达式变为：

$a + a^2 = a^2 + a$

所以原式变为：

$(a^2 + a)^{1/x} = (a^2(1 + \frac{1}{a}))^{1/x} = (a^2)^{1/x} \cdot \left(1 + \frac{1}{a}\right)^{1/x}$

但 $ a = 3^x $，所以 $ a^2 = (3^x)^2 = 9^x $，我们也可以直接从原始表达式提取主导项。

第二步：提取主导项

当 $ x \to +\infty $ 时，$ 9^x $ 远远大于 $ 3^x $，因为 $ 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \gg 3^x $。

所以我们可以从 $ 3^x + 9^x $ 中提取出 $ 9^x $ 作为公因式：

$3^x + 9^x = 9^x \left( \frac{3^x}{9^x} + 1 \right) = 9^x \left( \left(\frac{3}{9}\right)^x + 1 \right) = 9^x \left( \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1 \right)$

所以原式变为：

$(3^x + 9^x)^{1/x} = \left[ 9^x \left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^x \right) \right]^{1/x}$

利用幂的性质 $ (ab)^{1/x} = a^{1/x} b^{1/x} $，我们拆开：

$= (9^x)^{1/x} \cdot \left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^x \right)^{1/x}$

$= 9 \cdot \left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^x \right)^{1/x}$

第三步：求极限

我们现在有：

$\lim_{x \to +\infty} 9 \cdot \left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^x \right)^{1/x}$

由于 $ \frac{1}{3} < 1 $，所以 $ \left(\frac{1}{3}\right)^x \to 0 $ 当 $ x \to +\infty $，因此括号内趋于 $ 1 + 0 = 1 $。

而 $ 1^{1/x} \to 1 $，但这里是一个趋于 1 的数的 $ 1/x $ 次方，我们需要更仔细分析。

令：

$A = \left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^x \right)^{1/x}$

取自然对数：

$\ln A = \frac{1}{x} \ln\left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^x \right)$

由于 $ \left(\frac{1}{3}\right)^x \to 0 $，我们可以使用近似 $ \ln(1 + u) \sim u $ 当 $ u \to 0 $，所以：

$\ln A \sim \frac{1}{x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x$

而 $ \frac{1}{x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x \to 0 $（指数衰减比多项式快），所以 $ \ln A \to 0 $，因此 $ A \to e^0 = 1 $

第四步：得出最终结果

所以：

$\lim_{x \to +\infty} (3^x + 9^x)^{1/x} = 9 \cdot 1 = \boxed{9}$

答案：

$\boxed{9}$