题目
关于函数=cos x-dfrac (1)(2)cos 2x的极值结论错误的是( ).A 极大值=cos x-dfrac (1)(2)cos 2xB 极小值=cos x-dfrac (1)(2)cos 2xC 极大值=cos x-dfrac (1)(2)cos 2xD 极小值=cos x-dfrac (1)(2)cos 2x
关于函数
的极值结论错误的是( ).
A 极大值
B 极小值
C 极大值
D 极小值
题目解答
答案
根据二倍角公式cos2x = 2cos2x - 1，则
因为cos x∈[-1,1]，所以当cos x=
, y取极大值，为;
当cos x=1是,y=; 当cos x=-1时,y=
,比较在端点的取值大小，得出y的最小值为
所以四个选项都是错误的
故答案是: ABCD
解析
步骤 1：使用二倍角公式
根据二倍角公式$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，将原函数$y=\cos x-\dfrac {1}{2}\cos 2x$改写为$y=\cos x-\dfrac {1}{2}(2\cos^2 x - 1)$。
步骤 2：化简函数表达式
化简得到$y=\cos x-\cos^2 x+\dfrac {1}{2}$，进一步整理为$y=-\cos^2 x+\cos x+\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：求极值
将$y=-\cos^2 x+\cos x+\dfrac {1}{2}$改写为$y=-(\cos x-\dfrac {1}{2})^2+\dfrac {3}{4}$，可以看出当$\cos x=\dfrac {1}{2}$时，$y$取极大值$\dfrac {3}{4}$；当$\cos x=-1$时，$y$取极小值$-\dfrac {3}{2}$。
步骤 4：验证选项
根据步骤3的结论，极大值为$\dfrac {3}{4}$，极小值为$-\dfrac {3}{2}$，因此选项A、B、C、D都是错误的。
根据二倍角公式$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，将原函数$y=\cos x-\dfrac {1}{2}\cos 2x$改写为$y=\cos x-\dfrac {1}{2}(2\cos^2 x - 1)$。
步骤 2：化简函数表达式
化简得到$y=\cos x-\cos^2 x+\dfrac {1}{2}$，进一步整理为$y=-\cos^2 x+\cos x+\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：求极值
将$y=-\cos^2 x+\cos x+\dfrac {1}{2}$改写为$y=-(\cos x-\dfrac {1}{2})^2+\dfrac {3}{4}$，可以看出当$\cos x=\dfrac {1}{2}$时，$y$取极大值$\dfrac {3}{4}$；当$\cos x=-1$时，$y$取极小值$-\dfrac {3}{2}$。
步骤 4：验证选项
根据步骤3的结论，极大值为$\dfrac {3}{4}$，极小值为$-\dfrac {3}{2}$，因此选项A、B、C、D都是错误的。