题目
13.计算 int (2x-3y+1)dy, 其中Ω是由曲面 =(x)^2+2(y)^2 与曲面 =2-(x)^2 围成的区域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
由题意，积分区域Ω在xOy面上投影为 $\left \{ \begin{matrix} {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\\ z=0.\end{matrix} \right.$
步骤 2：利用对称性简化积分
由对称性可知 $\iiint_{\Omega} xdv= \iiint_{\Omega} ydv=0$.
步骤 3：计算三重积分
原式= $\iiint_{\Omega} dv= \iint_{D} \left( \int_{x^2+2y^2}^{2-x^2} dz \right) dxdy$
$= \iint_{D} (2-2x^2-2y^2 )dxdy$
$=2 \iint_{D} dxdy-2 \iint_{D} (x^2+y^2)dxdy$
$=2\pi -2 \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^2 \cdot rdr$
$=2\pi -\pi =\pi $.
由题意，积分区域Ω在xOy面上投影为 $\left \{ \begin{matrix} {x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\\ z=0.\end{matrix} \right.$
步骤 2：利用对称性简化积分
由对称性可知 $\iiint_{\Omega} xdv= \iiint_{\Omega} ydv=0$.
步骤 3：计算三重积分
原式= $\iiint_{\Omega} dv= \iint_{D} \left( \int_{x^2+2y^2}^{2-x^2} dz \right) dxdy$
$= \iint_{D} (2-2x^2-2y^2 )dxdy$
$=2 \iint_{D} dxdy-2 \iint_{D} (x^2+y^2)dxdy$
$=2\pi -2 \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^2 \cdot rdr$
$=2\pi -\pi =\pi $.