题目
3． 设 f(x)=｜x(1 一 x)｜，则()A.．x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。B.．x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。C.．x=0 是 f(x)的极值点，(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.．x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。
3． 设 f(x)=｜x(1 一 x)｜，则()
A.．x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。
B.．x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。
C.．x=0 是 f(x)的极值点，(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。
D.．x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。
A.．x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。
B.．x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。
C.．x=0 是 f(x)的极值点，(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。
D.．x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。
题目解答
答案
正确答案：C解析：一般情况下，讨论分段函数的极值点和拐点，主要考虑分段点处。因此，本题只需讨论 x=0 两边 f’(x)，f’’(x)的符号。可以选择区间(一 1，1)来讨论。可见 f’(x)在 x=0 两边异号，因此(0，0)是极值点；f’’(x)在 x=0 两边异号，所以(0，0)也是曲线的拐点。故选 C。 知识模块：一元函数微分学
解析
步骤 1：确定函数 f(x) 的定义
函数 f(x) = |x(1 - x)| 可以分为两部分：
- 当 x(1 - x) ≥ 0 时，f(x) = x(1 - x)
- 当 x(1 - x) < 0 时，f(x) = -x(1 - x)
步骤 2：求导数 f'(x)
- 当 x(1 - x) ≥ 0 时，f(x) = x(1 - x) = x - x^2，因此 f'(x) = 1 - 2x
- 当 x(1 - x) < 0 时，f(x) = -x(1 - x) = -x + x^2，因此 f'(x) = -1 + 2x
步骤 3：求二阶导数 f''(x)
- 当 x(1 - x) ≥ 0 时，f'(x) = 1 - 2x，因此 f''(x) = -2
- 当 x(1 - x) < 0 时，f'(x) = -1 + 2x，因此 f''(x) = 2
步骤 4：分析 x=0 处的导数和二阶导数
- 在 x=0 处，f'(x) 从 1 变为 -1，因此 f'(x) 在 x=0 处改变符号，说明 x=0 是 f(x) 的极值点。
- 在 x=0 处，f''(x) 从 -2 变为 2，因此 f''(x) 在 x=0 处改变符号，说明 (0,0) 是曲线 y=f(x) 的拐点。
函数 f(x) = |x(1 - x)| 可以分为两部分：
- 当 x(1 - x) ≥ 0 时，f(x) = x(1 - x)
- 当 x(1 - x) < 0 时，f(x) = -x(1 - x)
步骤 2：求导数 f'(x)
- 当 x(1 - x) ≥ 0 时，f(x) = x(1 - x) = x - x^2，因此 f'(x) = 1 - 2x
- 当 x(1 - x) < 0 时，f(x) = -x(1 - x) = -x + x^2，因此 f'(x) = -1 + 2x
步骤 3：求二阶导数 f''(x)
- 当 x(1 - x) ≥ 0 时，f'(x) = 1 - 2x，因此 f''(x) = -2
- 当 x(1 - x) < 0 时，f'(x) = -1 + 2x，因此 f''(x) = 2
步骤 4：分析 x=0 处的导数和二阶导数
- 在 x=0 处，f'(x) 从 1 变为 -1，因此 f'(x) 在 x=0 处改变符号，说明 x=0 是 f(x) 的极值点。
- 在 x=0 处，f''(x) 从 -2 变为 2，因此 f''(x) 在 x=0 处改变符号，说明 (0,0) 是曲线 y=f(x) 的拐点。