题目
38.(判断题) 方程 ydx + (y + x)dy = 0 既是齐次微分方程,又是一阶线性微分方程。A. 对B. 错
38.(判断题) 方程 ydx + (y + x)dy = 0 既是齐次微分方程,又是一阶线性微分方程。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：将方程改写为 $\frac{dx}{dy}$ 的形式
原方程为 $ydx + (y + x)dy = 0$，可以改写为 $\frac{dx}{dy} = -1 - \frac{x}{y}$。这符合一阶线性微分方程的形式 $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$，其中 $P(y) = \frac{1}{y}$，$Q(y) = -1$。
步骤 2：将方程改写为 $\frac{dy}{dx}$ 的形式
原方程也可以改写为 $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{y + x}$。这可以表示为 $\frac{y}{x}$ 的函数，即 $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$，满足齐次微分方程的定义。
原方程为 $ydx + (y + x)dy = 0$，可以改写为 $\frac{dx}{dy} = -1 - \frac{x}{y}$。这符合一阶线性微分方程的形式 $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$，其中 $P(y) = \frac{1}{y}$，$Q(y) = -1$。
步骤 2：将方程改写为 $\frac{dy}{dx}$ 的形式
原方程也可以改写为 $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{y + x}$。这可以表示为 $\frac{y}{x}$ 的函数，即 $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$，满足齐次微分方程的定义。