题目
sim U(-1,1) =(X)^2，则 X 与 Y 不独立且不相关（）(A)对(B)错
，则 X 与 Y 不独立且不相关（）
(A)对
(B)错
题目解答
答案
其中EX=0,
,故Cov(X,Y)=0,即X与Y不相关
故X,Y不独立
解析
步骤 1：计算 $X$ 的期望值
$X$ 服从 $(-1,1)$ 上的均匀分布，其期望值 $E(X)$ 为区间中点，即 $E(X) = 0$。
步骤 2：计算 $Y$ 的期望值
$Y = X^2$，因此 $E(Y) = E(X^2)$。由于 $X$ 服从 $(-1,1)$ 上的均匀分布，$E(X^2)$ 可以通过积分计算得到：
$$E(X^2) = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
步骤 3：计算 $X$ 和 $Y$ 的协方差
$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。由于 $Y = X^2$，则 $XY = X^3$，因此 $E(XY) = E(X^3)$。由于 $X$ 服从 $(-1,1)$ 上的均匀分布，$E(X^3)$ 为 0（因为 $x^3$ 在 $(-1,1)$ 上的积分为 0）。因此，$Cov(X,Y) = 0 - 0 \cdot \frac{1}{3} = 0$，即 $X$ 和 $Y$ 不相关。
步骤 4：判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立
$X$ 和 $Y$ 独立的充要条件是 $P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B)$ 对任意的 $A$ 和 $B$ 成立。由于 $Y = X^2$，$X$ 和 $Y$ 的取值范围有直接关系，因此 $X$ 和 $Y$ 不独立。
$X$ 服从 $(-1,1)$ 上的均匀分布，其期望值 $E(X)$ 为区间中点，即 $E(X) = 0$。
步骤 2：计算 $Y$ 的期望值
$Y = X^2$，因此 $E(Y) = E(X^2)$。由于 $X$ 服从 $(-1,1)$ 上的均匀分布，$E(X^2)$ 可以通过积分计算得到：
$$E(X^2) = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
步骤 3：计算 $X$ 和 $Y$ 的协方差
$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。由于 $Y = X^2$，则 $XY = X^3$，因此 $E(XY) = E(X^3)$。由于 $X$ 服从 $(-1,1)$ 上的均匀分布，$E(X^3)$ 为 0（因为 $x^3$ 在 $(-1,1)$ 上的积分为 0）。因此，$Cov(X,Y) = 0 - 0 \cdot \frac{1}{3} = 0$，即 $X$ 和 $Y$ 不相关。
步骤 4：判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立
$X$ 和 $Y$ 独立的充要条件是 $P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B)$ 对任意的 $A$ 和 $B$ 成立。由于 $Y = X^2$，$X$ 和 $Y$ 的取值范围有直接关系，因此 $X$ 和 $Y$ 不独立。