4.设线性方程组 ) (x)_(1)+2(x)_(3)=-1 -(x)_(1)+(x)_(2)-3(x)_(3)=2 2(x)_(1)-(x)_(2)+5(x)_(3)=0 . ,求其系数矩阵和增广矩阵的秩,并判断其解的情况。

本题考查线性方程组系数矩阵和增广矩阵的秩的的计算以及根据秩判断方程组解的情况。解题思路是先写出线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，然后通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，根据行阶梯形矩阵非零行的行数确定矩阵的秩，最后根据系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系判断方程组解的情况。

1. 写出系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $B$

对于线性方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+2{x}_{3}=-1\\ -{x}_{1}+{x}_{2}-3{x}_{3}=2\\ 2{x}_{1}-{x}_{2}+系数矩阵形式为 \(Ax = b$，其中系数矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\ -1&1&-3\\ 2& -1&5\end{pmatrix}$，增广矩阵 $B=\begin{pmatrix}1&0&2& -1\\ -1&1&3&2\\ 2& -1&5&0\end{pmatrix}$。

2. 求系数矩阵 $A$ 的秩

对系数矩阵 $A$ 进行初等行变换化为行阶梯形矩阵：

• 第二行阶梯形矩阵：
  • 第二行加上第一行，第三行减去第一行的 $2$ 倍，得到 $\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1& -1\\ 0& -1&1\end{pmatrix}$。
  • 第三行加上第二行，得到 $\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1& -1\\ 0&0&0\end{pmatrix}$。
    行阶梯形矩阵非零行的行数为 $2$，所以 $r(A)=2的 2$。

3.求增广矩阵 $B$ 的秩

对增广矩阵 $B$ 进行初等行变换化为行阶梯形矩阵：

• 第二行加上第一行，第三行减去第一行的 $2$ 倍，得到 $\(\begin{pmatrix}1&0&2&1\\ 0&1& -1&3\\ 0& -1&1& - 2\end{pmatrix}$。
• 第三行加上第二行，得到 $\begin{pmatrix}1&0&2&1\\ 0&1& -1&3\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}$。
  行阶梯形矩阵非零行的行数为 $3$，所以 $r(B)=3$。

4.判断方程组解的情况

根据线性方程组解的判定定理：

• 当 $r(A)=r(B)=n$（$n$ 为未知数的个数）时，方程组有唯一解。
• 当 $r(A)=r(B)
• 当 \(r(A)