1.求函数y=6x^2-x^3的单调区间、极值、凹凸区间与拐点 (10分)

1. **一阶导数与单调性：** $ y' = -3x(x - 4) $，令 $ y' = 0 $ 得 $ x = 0 $ 或 $ x = 4 $。 - 当 $ x < 0 $ 时，$ y' < 0 $，函数递减； - 当 $ 0 < x < 4 $ 时，$ y' > 0 $，函数递增； - 当 $ x > 4 $ 时，$ y' < 0 $，函数递减。 **极值：** - $ x = 0 $ 处，极小值 $ y(0) = 0 $； - $ x = 4 $ 处，极大值 $ y(4) = 32 $。 2. **二阶导数与凹凸性：** $ y'' = -6(x - 2) $，令 $ y'' = 0 $ 得 $ x = 2 $。 - 当 $ x < 2 $ 时，$ y'' > 0 $，函数凹； - 当 $ x > 2 $ 时，$ y'' < 0 $，函数凸。 **拐点：** $ x = 2 $ 处，$ y(2) = 16 $，拐点为 $ (2, 16) $。 **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{ll} \text{单调区间：} & (-\infty, 0) \text{ 和 } (4, +\infty) \text{ 递减，} (0, 4) \text{ 递增} \\ \text{极值：} & x = 0 \text{ 极小值 } 0，x = 4 \text{ 极大值 } 32 \\ \text{凹凸区间：} & (-\infty, 2) \text{ 凹，} (2, +\infty) \text{ 凸} \\ \text{拐点：} & (2, 16) \end{array} } \]