17.已知D是由y=x^2和x=y^2所围成的闭区域，计算二重积分iint_(D)(x+y)dxdy

本题考查二重积分的计算，解题思路是先确定积分区域 $D$ 的范围，然后将二重积分化为累次积分进行计算。

1. 确定积分区域 $D$ 的范围：
   • 联立方程组$\begin{cases}y = x^2\\x = y^2\end{cases}$，将$y = x^2$代入$x = y^2$可得$x=(x^2)^2=x^4$，移项得到$x^4 - x = 0$，提取公因式$x$得$x(x^3 - 1)=0$，即$x(x - 1)(x^2+x + 1)=0$。
   • 因为$x^2+x + 1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\gt0$恒成立，所以方程的解为$x = 0$和$x = 1$。
   • 当$x = 0$时，$y = 0$；当$x = 1$时，$y = 1$。所以两曲线的交点为$(0,0)$和$(1,1)$。
   • 对于区域 $D$，$x$ 的取值范围是$0\leqslant x\leqslant 1$，在这个范围内，$y$ 的下限是$y = x^2$，上限是$y=\sqrt{x}$，即$D$ 可表示为$0\leqslant x\leqslant 1$，$x^2\leqslant y\leqslant \sqrt{x}$。
2. 将二重积分化为累次积分：
   根据上述积分区域的范围，$\iint_{D}(x + y)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{x}}(x + y)dydx$。
3. 先对 $y$ 积分：
   根据积分公式$\int y^n dy=\frac{y^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，$\int x dy=xy+C$，对$\int_{x^2}^{\sqrt{x}}(x + y)dy$进行计算：
   $\begin{align*}\int_{x^2}^{\sqrt{x}}(x + y)dy&=\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_{y = x^2}^{y=\sqrt{x}}\\&=(x\cdot\sqrt{x}+\frac{(\sqrt{x})^2}{2})-(x\cdot x^2+\frac{(x^2)^2}{2})\\&=x^{\frac{3}{2}}+\frac{x}{2}-x^3-\frac{x^4}{2}\end{align*}$
4. 再对 $x$ 积分：
   根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，对$\int_{0}^{1}(x^{\frac{3}{2}}+\frac{x}{2}-x^3-\frac{x^4}{2})dx$进行计算：
   $\begin{align*}\int_{0}^{1}(x^{\frac{3}{2}}+\frac{x}{2}-x^3-\frac{x^4}{2})dx&=\left[\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{10}x^5\right]_{0}^{1}\\&=(\frac{2}{5}\times1^{\frac{5}{2}}+\frac{1}{4}\times1^2-\frac{1}{4}\times1^4-\frac{1}{10}\times1^5)-0\\&=\frac{2}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{10}\\&=\frac{4 + 1-1 - 1}{10}\\&=\frac{3}{10}\end{align*}$