题目
矩阵0 1 0-|||-1 2 3-|||-2 3 4，则0 1 0-|||-1 2 3-|||-2 3 4。0 1 0-|||-1 2 3-|||-2 3 40 1 0-|||-1 2 3-|||-2 3 40 1 0-|||-1 2 3-|||-2 3 40 1 0-|||-1 2 3-|||-2 3 4
矩阵
，则
。
题目解答
答案
由题意知，矩阵，组成矩阵
，将第二行的
倍加到第三行，
，将第三行的
倍加到第二行，
，第一行的
倍加到第三行，
，第三行乘
，
，将第三行的倍加到第二行，
，交换第一行与第二行，
，则可以得到逆矩阵
，故正确答案选择
。
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵$(A|E)$，其中$E$是单位矩阵，$A$是给定的矩阵。增广矩阵为：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 2& 3& 0& 1& 0\\ 2& 3& 4& 0& 0& 1\end{matrix} ] \right.
$$
步骤 2：进行行变换
将第二行的(-2)倍加到第三行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 2& 3& 0& 1& 0\\ 0& -1& -2& 0& -2& 1\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& -1& 1\\ 0& -1& -2& 0& -2& 1\end{matrix} ] \right.
$$
将第一行的(-1)倍加到第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& -1& -1& 1\\ 0& -1& -2& 0& -2& 1\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 1& 1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第一行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 1& 0& -1& 0\\ 1& 0& 1& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 1& 1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 1& 0& -1& 0\\ 1& 0& 0& -2& -2& 1\\ 0& 0& -1& 1& 1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第一行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& -2& -2& 1\\ 0& 0& -1& 1& 1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第一行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& -2& -2& 1\\ 0& 0& 1& -1& -1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
步骤 3：交换行
交换第一行与第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 1& 0& 0& -2& -2& 1\\ 0& 1& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& -1& -1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
构造增广矩阵$(A|E)$，其中$E$是单位矩阵，$A$是给定的矩阵。增广矩阵为：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 2& 3& 0& 1& 0\\ 2& 3& 4& 0& 0& 1\end{matrix} ] \right.
$$
步骤 2：进行行变换
将第二行的(-2)倍加到第三行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 2& 3& 0& 1& 0\\ 0& -1& -2& 0& -2& 1\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& -1& 1\\ 0& -1& -2& 0& -2& 1\end{matrix} ] \right.
$$
将第一行的(-1)倍加到第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& -1& -1& 1\\ 0& -1& -2& 0& -2& 1\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 1& 1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第一行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 1& 0& -1& 0\\ 1& 0& 1& -1& -1& 1\\ 0& 0& -1& 1& 1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 1& 0& -1& 0\\ 1& 0& 0& -2& -2& 1\\ 0& 0& -1& 1& 1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第一行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& -2& -2& 1\\ 0& 0& -1& 1& 1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
将第三行的(-1)倍加到第一行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 0& 1& 0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& -2& -2& 1\\ 0& 0& 1& -1& -1& 0\end{matrix} ] \right.
$$
步骤 3：交换行
交换第一行与第二行，得到：
$$
\left [ \begin{matrix} 1& 0& 0& -2& -2& 1\\ 0& 1& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 1& -1& -1& 0\end{matrix} ] \right.
$$