题目

求下列极限：lim _(xarrow +infty )((dfrac {2)(pi )arctan x)}^x-|||-__

求下列极限：

$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^x$

题目解答

解： $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^x=e^{\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)}$

$=e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)}{\frac{1}{x}}}$

由洛必达法则可知：

$=e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{\arctan x}\bullet\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}}}$

$=e^{-\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\arctan x}\bullet\frac{x^2}{1+x^2}}=e^{-\frac{2}{\pi}}$