K系与K'系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K'系相对于K系沿Ox轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在K'系中，与Ox轴成30°角。今在K系中观测该尺与Ox轴成45°角，则K'系相对于K系的速度是[]。A. sqrt(1/3)c B. sqrt(2/3)c C. 2/3cD. 1/3c

考查要点：本题主要考查狭义相对论中的长度收缩效应及角度随参考系变化的关系。关键在于理解不同惯性系中物体长度的测量差异，以及如何通过角度变化建立方程求解相对速度。

解题核心思路：

1. 长度收缩效应：沿运动方向（Ox轴）的长度在运动系中会缩短，垂直方向长度不变。
2. 角度与长度比的关系：角度由物体在x和y方向的长度比决定，需通过相对论公式关联两惯性系中的长度比。

破题关键点：

• 明确K'系中尺子的原始角度（30°）对应长度比 $\tan 30^\circ = \frac{L_y'}{L_x'}$。
• K系中观测到的角度（45°）对应长度比 $\tan 45^\circ = \frac{L_y}{L_x}$，其中 $L_x$ 已收缩，$L_y$ 不变。
• 建立方程 $\frac{L_y'}{L_x' \sqrt{1 - v^2/c^2}} = 1$，结合 $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 求解速度 $v$。

步骤1：分析长度关系

• 在K'系中，尺子与Ox'轴成30°，故 $\tan 30^\circ = \frac{L_y'}{L_x'} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。
• 在K系中，沿Ox方向的长度收缩为 $L_x = L_x' \sqrt{1 - v^2/c^2}$，垂直方向长度不变，即 $L_y = L_y'$。

步骤2：建立角度关系

K系中观测到的角度为45°，故：
$\tan 45^\circ = \frac{L_y}{L_x} = \frac{L_y'}{L_x' \sqrt{1 - v^2/c^2}} = 1$

步骤3：代入已知条件

将 $\frac{L_y'}{L_x'} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 代入方程：
$\frac{1}{\sqrt{3}} \div \sqrt{1 - v^2/c^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

步骤4：求解速度

平方两边得：
$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{v^2}{c^2} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2}{3}} c$