题目
1.（1）矩阵A=}3&-4&-40&2&02&-2&-3，则A有一个特征向量（A）(1,0,-1)^T. （B）(3,3,-6)^T. （C）(1,1,-2)^T. （D）(4,-1,2)^T.
1.（1）矩阵$A=\begin{bmatrix}3&-4&-4\\0&2&0\\2&-2&-3\end{bmatrix}$，则A有一个特征向量
（A）$(1,0,-1)^T$. （B）$(3,3,-6)^T$. （C）$(1,1,-2)^T$. （D）$(4,-1,2)^T$.
题目解答
答案
计算特征值：
特征方程为 $\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(\lambda^2 - 1) = 0$，解得 $\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = -1$。
求特征向量：
- 对于 $\lambda_1 = 2$，特征向量为 $\begin{bmatrix} 2 \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}$。
- 对于 $\lambda_2 = 1$，特征向量为 $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
- 对于 $\lambda_3 = -1$，特征向量为 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
选项分析：
- (A) $(1, 0, -1)^T$ 对应 $\lambda_3 = -1$，但与特征向量不匹配。
- (B) $(3, 3, -6)^T$ 对应 $\lambda_2 = 1$，但与特征向量不匹配。
- (C) $(1, 1, -2)^T$ 对应 $\lambda_2 = 1$，但与特征向量不匹配。
- (D) $(4, -1, 2)^T$ 对应 $\lambda_1 = 2$，满足特征向量条件。
**答案：** $\boxed{D}$
解析
步骤 1：计算特征值
特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$，其中 $I$ 是单位矩阵。计算得：
$$
\det\begin{bmatrix}3-\lambda&-4&-4\\0&2-\lambda&0\\2&-2&-3-\lambda\end{bmatrix} = (2-\lambda)((3-\lambda)(-3-\lambda)-(-4)(-2)) = (2-\lambda)(\lambda^2-1) = 0
$$
解得 $\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = -1$。
步骤 2：求特征向量
- 对于 $\lambda_1 = 2$，解方程 $(A - 2I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量 $\begin{bmatrix} 2 \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}$。
- 对于 $\lambda_2 = 1$，解方程 $(A - I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量 $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
- 对于 $\lambda_3 = -1$，解方程 $(A + I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
步骤 3：选项分析
- (A) $(1, 0, -1)^T$ 对应 $\lambda_3 = -1$，但与特征向量不匹配。
- (B) $(3, 3, -6)^T$ 对应 $\lambda_2 = 1$，但与特征向量不匹配。
- (C) $(1, 1, -2)^T$ 对应 $\lambda_2 = 1$，但与特征向量不匹配。
- (D) $(4, -1, 2)^T$ 对应 $\lambda_1 = 2$，满足特征向量条件。
特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$，其中 $I$ 是单位矩阵。计算得：
$$
\det\begin{bmatrix}3-\lambda&-4&-4\\0&2-\lambda&0\\2&-2&-3-\lambda\end{bmatrix} = (2-\lambda)((3-\lambda)(-3-\lambda)-(-4)(-2)) = (2-\lambda)(\lambda^2-1) = 0
$$
解得 $\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = -1$。
步骤 2：求特征向量
- 对于 $\lambda_1 = 2$，解方程 $(A - 2I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量 $\begin{bmatrix} 2 \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}$。
- 对于 $\lambda_2 = 1$，解方程 $(A - I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量 $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
- 对于 $\lambda_3 = -1$，解方程 $(A + I)\mathbf{x} = 0$，得特征向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
步骤 3：选项分析
- (A) $(1, 0, -1)^T$ 对应 $\lambda_3 = -1$，但与特征向量不匹配。
- (B) $(3, 3, -6)^T$ 对应 $\lambda_2 = 1$，但与特征向量不匹配。
- (C) $(1, 1, -2)^T$ 对应 $\lambda_2 = 1$，但与特征向量不匹配。
- (D) $(4, -1, 2)^T$ 对应 $\lambda_1 = 2$，满足特征向量条件。