题目

5.若线性方程组}x_{1)+x_(2)=-a_(1),x_(2)+x_(3)=a_(2),x_(3)+x_(4)=-a_(3),x_(4)+x_(1)=a_(4)应满足条件____.

5.若线性方程组$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-a_{1},\\x_{2}+x_{3}=a_{2},\\x_{3}+x_{4}=-a_{3},\\x_{4}+x_{1}=a_{4}\end{matrix}\right.$有解，则常数$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$应满足条件____.

题目解答

答案

将方程组写成增广矩阵并进行行变换： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & a_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -a_3 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & a_4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & a_2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -a_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \end{pmatrix}. \] 为使方程组有解，增广矩阵的秩应等于系数矩阵的秩，即最后一行的常数项须为零： \[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0. \] **答案：** $\boxed{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0}$

解析

本题考察线性方程组有解的条件：增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。具体解题步骤如下：

步骤1：写出增广矩阵

线性方程组的增广矩阵为：
$\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 1 & 0 & 0 & -a_1 \\0 & 1 & 1 & 0 & a_2 \\0 & 0 &1 &1 & -a_3 \\1 &0 &0 &1 & a_4\end{array}\right)\通过通过行变换化为行阶梯形矩阵。## **步骤2：进行行变换** 对增广矩阵作行变换（第四行减去第一第一行）： \[\text{第四行} = \text{第四行} - \text{第一行} \implies \left(\begin{array}{cccc|c}1 &1 &0 &0 & -a_1 \\0 &1 &1 &0 &a_2 \\0 &0 &1 &1 & -a_3 \\0 &-1 &0 &1 &a_4 +a_1\end{array}\right)$
继续消元（第四行加上第二行）：
$\text{第四行} = \text{第四行} + \text{第二行} \implies \left(\begin{array}{cccc|c}1 &1 &0 &0 &-a1 \\0 &1 &1 &0 &a2 \\0 &0 &1 &1 &-a3 \\0 &0 &1 &1 &a4+a1+a2\end{array}\right)$
再消元（第四行减去第三行）：
$\text{第四行} = \text{第四行} - \text{第三行} \implies \left(\begin{array}{cccc|c}1 &1 &0 &0 &-a1 \\0 &1 &1 &0 &a2 \\0 &0 &1 &1 &-a3 \\0 &0 &0 &0 &a1+a2+a3+a4\end{array}\right)$

步骤3：判断有解条件

线性方程组有解的充要条件是增广矩阵_的秩等于系数矩阵的秩。此时，增广矩阵的最后一行若为“0 0 0 0 | 非零数”，系数矩阵的秩为3，增广矩阵的秩为4，矛盾；只有当最后一行常数项为0时，增广矩阵的秩等于系数矩阵秩（均为3），方程组有解。