9.设X为随机变量.若矩阵A=}2&3&20&-2&-X0&1&0的特征值全为实数的概率为0.5，则（ ）. (A.)X服从区间(0,2)内的均匀分布U(0,2) (B)X服从二项分布B.(2,0.5) (C.)X服从参数为1的指数分布E(1) (D.)X服从正态分布N(0,1)

为了确定随机变量 $X$ 的分布，我们需要分析矩阵 $A = \begin{pmatrix}2&3&2\\0&-2&-X\\0&1&0\end{pmatrix}$ 的特征值。矩阵的特征值是其特征多项式的根。矩阵 $A$ 的特征多项式由下式给出： \[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix}2 - \lambda & 3 & 2 \\ 0 & -2 - \lambda & -X \\ 0 & 1 & -\lambda\end{pmatrix} \] 由于矩阵 $A$ 的第一列除了第一个元素外，其他元素都是零，我们可以沿第一列展开行列式： \[ \det(A - \lambda I) = (2 - \lambda) \det \begin{pmatrix}-2 - \lambda & -X \\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} \] 接下来，我们计算2x2行列式： \[ \det \begin{pmatrix}-2 - \lambda & -X \\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} = (-2 - \lambda)(-\lambda) - (-X)(1) = \lambda^2 + 2\lambda + X \] 因此，特征多项式为： \[ \det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(\lambda^2 + 2\lambda + X) \] 特征值是方程 $(2 - \lambda)(\lambda^2 + 2\lambda + X) = 0$ 的解。一个解是 $\lambda = 2$。其他两个特征值是二次方程 $\lambda^2 + 2\lambda + X = 0$ 的解。二次方程的解为： \[ \lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4X}}{2} = -1 \pm \sqrt{1 - X} \] 为了使特征值全为实数，判别式 $1 - X$ 必须非负。因此，我们需要： \[ 1 - X \geq 0 \implies X \leq 1 \] 已知矩阵 $A$ 的特征值全为实数的概率为0.5。这意味着 $X \leq 1$ 的概率为0.5。我们需要确定哪个给定的 $X$ 的分布满足这个条件。 (A) 如果 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 内的均匀分布 $U(0,2)$，那么 $X \leq 1$ 的概率为： \[ P(X \leq 1) = \frac{1 - 0}{2 - 0} = 0.5 \] (B) 如果 $X$ 服从二项分布 $B(2,0.5)$，那么 $X$ 可以取值0，1或2，概率分别为： \[ P(X = 0) = \binom{2}{0} (0.5)^0 (0.5)^2 = 0.25, \quad P(X = 1) = \binom{2}{1} (0.5)^1 (0.5)^1 = 0.5, \quad P(X = 2) = \binom{2}{2} (0.5)^2 (0.5)^0 = 0.25 \] $X \leq 1$ 的概率为： \[ P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.25 + 0.5 = 0.75 \] (C) 如果 $X$ 服从参数为1的指数分布 $E(1)$，那么 $X$ 的概率密度函数为： \[ f(x) = e^{-x} \quad \text{对于} \quad x \geq 0 \] $X \leq 1$ 的概率为： \[ P(X \leq 1) = \int_0^1 e^{-x} \, dx = -e^{-x} \bigg|_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632 \] (D) 如果 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$，那么 $X$ 的概率密度函数为： \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \] $X \leq 1$ 的概率为： \[ P(X \leq 1) = \Phi(1) \approx 0.8413 \] 其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。 唯一满足 $P(X \leq 1) = 0.5$ 的分布是区间 $(0,2)$ 内的均匀分布。因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]