求函数 =x(y)^2z 在点 _(0)(1,-1,2) 处变化最快的方向,并求沿这个方向的方向-|||-导数. __

步骤 1：计算梯度
函数 $u=x{y}^{2}z$ 的梯度 $\nabla u$ 可以通过分别对 $x$、$y$ 和 $z$ 求偏导数得到。梯度 $\nabla u$ 是一个向量，其分量分别是 $u$ 对 $x$、$y$ 和 $z$ 的偏导数。
步骤 2：计算偏导数
对 $x$ 求偏导数得到 $\frac{\partial u}{\partial x} = y^2z$，对 $y$ 求偏导数得到 $\frac{\partial u}{\partial y} = 2xyz$，对 $z$ 求偏导数得到 $\frac{\partial u}{\partial z} = xy^2$。
步骤 3：计算梯度在点 ${P}_{0}(1,-1,2)$ 的值
将点 ${P}_{0}(1,-1,2)$ 的坐标代入梯度的分量中，得到 $\nabla u|_{P_0} = (y^2z, 2xyz, xy^2)|_{(1,-1,2)} = (2, -4, 1)$。
步骤 4：确定变化最快的方向
函数 $u$ 在点 ${P}_{0}$ 处变化最快的方向是梯度 $\nabla u|_{P_0}$ 的方向，即向量 $(2, -4, 1)$ 的方向。
步骤 5：计算沿这个方向的方向导数
沿梯度方向的方向导数等于梯度的模长，即 $\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{21}$。