题目
5.7 求出下列函数在有限孤立奇点处的留数:-|||-(1) dfrac ({e)^x-1}(z);-|||-(2) dfrac ({z)^7}((z-2){({z)^2+1)}^2};-|||-(3) dfrac (sin 2z)({(z+1))^3};-|||-(4) ^2sin dfrac (1)(z);-|||-(5) dfrac (1)(zsin z)-|||-(6) dfrac (sin hz)(cos hz)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算函数 $\dfrac{{e}^{x}-1}{z}$ 在 $z=0$ 处的留数
函数 $\dfrac{{e}^{x}-1}{z}$ 在 $z=0$ 处有一个一阶极点，因为分子在 $z=0$ 处为零，而分母在 $z=0$ 处为零。根据留数定理，函数在 $z=0$ 处的留数为 $\lim_{z\to 0} z\cdot \dfrac{{e}^{x}-1}{z} = \lim_{z\to 0} ({e}^{x}-1) = 0$。
步骤 2：计算函数 $\dfrac{{z}^{7}}{(z-2){({z}^{2}+1)}^{2}}$ 在 $z=2$ 和 $z=\pm i$ 处的留数
函数 $\dfrac{{z}^{7}}{(z-2){({z}^{2}+1)}^{2}}$ 在 $z=2$ 处有一个一阶极点，在 $z=\pm i$ 处有两个二阶极点。根据留数定理，函数在 $z=2$ 处的留数为 $\lim_{z\to 2} (z-2)\cdot \dfrac{{z}^{7}}{(z-2){({z}^{2}+1)}^{2}} = \dfrac{{2}^{7}}{{({2}^{2}+1)}^{2}} = \dfrac{128}{25}$。函数在 $z=\pm i$ 处的留数为 $\lim_{z\to \pm i} \dfrac{d}{dz} \left( (z\mp i)^{2}\cdot \dfrac{{z}^{7}}{(z-2){({z}^{2}+1)}^{2}} \right) = -\dfrac{56\pm 33i}{100}$。
步骤 3：计算函数 $\dfrac{\sin 2z}{{(z+1)}^{3}}$ 在 $z=-1$ 处的留数
函数 $\dfrac{\sin 2z}{{(z+1)}^{3}}$ 在 $z=-1$ 处有一个三阶极点。根据留数定理，函数在 $z=-1$ 处的留数为 $\lim_{z\to -1} \dfrac{1}{2!} \dfrac{d^{2}}{dz^{2}} \left( (z+1)^{3}\cdot \dfrac{\sin 2z}{{(z+1)}^{3}} \right) = 2\sin 2$。
步骤 4：计算函数 ${z}^{2}\sin \dfrac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处的留数
函数 ${z}^{2}\sin \dfrac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处有一个一阶极点。根据留数定理，函数在 $z=0$ 处的留数为 $\lim_{z\to 0} z\cdot {z}^{2}\sin \dfrac{1}{z} = \lim_{z\to 0} {z}^{3}\sin \dfrac{1}{z} = -\dfrac{1}{6}$。
步骤 5：计算函数 $\dfrac{1}{z\sin z}$ 在 $z=0$ 和 $z=k\pi$ 处的留数
函数 $\dfrac{1}{z\sin z}$ 在 $z=0$ 处有一个一阶极点，在 $z=k\pi$ 处有一个一阶极点。根据留数定理，函数在 $z=0$ 处的留数为 $\lim_{z\to 0} z\cdot \dfrac{1}{z\sin z} = \lim_{z\to 0} \dfrac{1}{\sin z} = 0$。函数在 $z=k\pi$ 处的留数为 $\lim_{z\to k\pi} (z-k\pi)\cdot \dfrac{1}{z\sin z} = \dfrac{{(-1)}^{n}}{k\pi}$，其中 $k\neq 0$。
步骤 6：计算函数 $\dfrac{\sin hz}{\cos hz}$ 在所有点处的留数
函数 $\dfrac{\sin hz}{\cos hz}$ 在所有点处都是解析的，因此在所有点处的留数都为零。
函数 $\dfrac{{e}^{x}-1}{z}$ 在 $z=0$ 处有一个一阶极点，因为分子在 $z=0$ 处为零，而分母在 $z=0$ 处为零。根据留数定理，函数在 $z=0$ 处的留数为 $\lim_{z\to 0} z\cdot \dfrac{{e}^{x}-1}{z} = \lim_{z\to 0} ({e}^{x}-1) = 0$。
步骤 2：计算函数 $\dfrac{{z}^{7}}{(z-2){({z}^{2}+1)}^{2}}$ 在 $z=2$ 和 $z=\pm i$ 处的留数
函数 $\dfrac{{z}^{7}}{(z-2){({z}^{2}+1)}^{2}}$ 在 $z=2$ 处有一个一阶极点，在 $z=\pm i$ 处有两个二阶极点。根据留数定理，函数在 $z=2$ 处的留数为 $\lim_{z\to 2} (z-2)\cdot \dfrac{{z}^{7}}{(z-2){({z}^{2}+1)}^{2}} = \dfrac{{2}^{7}}{{({2}^{2}+1)}^{2}} = \dfrac{128}{25}$。函数在 $z=\pm i$ 处的留数为 $\lim_{z\to \pm i} \dfrac{d}{dz} \left( (z\mp i)^{2}\cdot \dfrac{{z}^{7}}{(z-2){({z}^{2}+1)}^{2}} \right) = -\dfrac{56\pm 33i}{100}$。
步骤 3：计算函数 $\dfrac{\sin 2z}{{(z+1)}^{3}}$ 在 $z=-1$ 处的留数
函数 $\dfrac{\sin 2z}{{(z+1)}^{3}}$ 在 $z=-1$ 处有一个三阶极点。根据留数定理，函数在 $z=-1$ 处的留数为 $\lim_{z\to -1} \dfrac{1}{2!} \dfrac{d^{2}}{dz^{2}} \left( (z+1)^{3}\cdot \dfrac{\sin 2z}{{(z+1)}^{3}} \right) = 2\sin 2$。
步骤 4：计算函数 ${z}^{2}\sin \dfrac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处的留数
函数 ${z}^{2}\sin \dfrac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处有一个一阶极点。根据留数定理，函数在 $z=0$ 处的留数为 $\lim_{z\to 0} z\cdot {z}^{2}\sin \dfrac{1}{z} = \lim_{z\to 0} {z}^{3}\sin \dfrac{1}{z} = -\dfrac{1}{6}$。
步骤 5：计算函数 $\dfrac{1}{z\sin z}$ 在 $z=0$ 和 $z=k\pi$ 处的留数
函数 $\dfrac{1}{z\sin z}$ 在 $z=0$ 处有一个一阶极点，在 $z=k\pi$ 处有一个一阶极点。根据留数定理，函数在 $z=0$ 处的留数为 $\lim_{z\to 0} z\cdot \dfrac{1}{z\sin z} = \lim_{z\to 0} \dfrac{1}{\sin z} = 0$。函数在 $z=k\pi$ 处的留数为 $\lim_{z\to k\pi} (z-k\pi)\cdot \dfrac{1}{z\sin z} = \dfrac{{(-1)}^{n}}{k\pi}$，其中 $k\neq 0$。
步骤 6：计算函数 $\dfrac{\sin hz}{\cos hz}$ 在所有点处的留数
函数 $\dfrac{\sin hz}{\cos hz}$ 在所有点处都是解析的，因此在所有点处的留数都为零。