题目
设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,则矩阵B=AC的秩为__________.
设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,则矩阵B=AC的秩为__________.
题目解答
答案
r
解析
步骤 1：理解矩阵秩的定义
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的最大数量。对于矩阵A，其秩为r，意味着A有r个线性无关的行或列。
步骤 2：理解可逆矩阵的性质
可逆矩阵C是n阶的，意味着C是一个n×n的方阵，并且存在C的逆矩阵C^{-1}，使得CC^{-1} = C^{-1}C = I，其中I是n阶单位矩阵。可逆矩阵的秩等于其阶数，即rank(C) = n。
步骤 3：分析矩阵乘积的秩
矩阵B = AC，其中A是m×n矩阵，C是n×n可逆矩阵。由于C是可逆的，它不会改变矩阵A的秩。换句话说，C的乘法不会增加或减少矩阵A的线性无关行或列的数量。因此，矩阵B的秩等于矩阵A的秩。
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的最大数量。对于矩阵A，其秩为r，意味着A有r个线性无关的行或列。
步骤 2：理解可逆矩阵的性质
可逆矩阵C是n阶的，意味着C是一个n×n的方阵，并且存在C的逆矩阵C^{-1}，使得CC^{-1} = C^{-1}C = I，其中I是n阶单位矩阵。可逆矩阵的秩等于其阶数，即rank(C) = n。
步骤 3：分析矩阵乘积的秩
矩阵B = AC，其中A是m×n矩阵，C是n×n可逆矩阵。由于C是可逆的，它不会改变矩阵A的秩。换句话说，C的乘法不会增加或减少矩阵A的线性无关行或列的数量。因此，矩阵B的秩等于矩阵A的秩。