计算不定积分 int x^2 e^-x dx.

本题考查不定积分的计算，具体运用分部积分法来求解多项式与指数函数乘积形式的不定积分。分部积分法的核心思路是将一个复杂的积分通过合理选择$u$和$dv$，转化为相对简单的积分形式。对于$\int x^2 e^{-x} dx$，由于$x^2$求导后次数会降低，$e^{-x}$积分容易计算，所以适合使用分部积分法。

第一步：第一次分部积分

设$u = x^2$，对$u$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$du = 2x dx$；设$dv = e^{-x} dx$，对$dv$积分，根据积分公式$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C(a\neq0)$可得$v = -e^{-x}$。
将$u$、$v$、$du$、$dv$代入分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，得到：
$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x}) \cdot 2x dx=-x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$

第二步：第二次分部积分

对于$\int x e^{-x} dx$，再次使用分部积分法。设$u = x$，则$du = dx$；设$dv = e^{-x} dx$，则$v = -e^{-x}$。
将其代入分部积分公式可得：
$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx=-x e^{-x} + \int e^{-x} dx$
对$\int e^{-x} dx$进行积分，根据积分公式$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C(a\neq0)$，这里$a=-1$，可得$\int e^{-x} dx=-e^{-x}$，所以$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x}$。

第三步：代入回原式

将$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x}$代入$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$中，得到：
$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2(-x e^{-x} - e^{-x})=-x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x}$

第四步：整理结果

提取公因式$-e^{-x}$，可得：
$\int x^2 e^{-x} dx = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$
其中$C$是积分常数。