【填空题】曲线z=x^2,y=0,绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程是什么?

考查要点：本题主要考查旋转曲面的方程推导方法，特别是绕z轴旋转时的坐标变换规律。

解题核心思路：
当平面曲线绕某一坐标轴旋转时，曲线上每一点在空间中形成一个圆。对于绕z轴旋转的情况，原曲线中的x坐标会被替换为旋转后的点的径向距离$\sqrt{x^2 + y^2}$，而z坐标保持不变。

破题关键点：

1. 识别原曲线的位置：原曲线$z = x^2, y = 0$位于xz平面，是开口向上的抛物线。
2. 理解旋转后的几何意义：绕z轴旋转后，原曲线上的每一点$(x, 0, x^2)$在空间中形成圆，其半径为$|x|$，对应的径向距离为$\sqrt{x^2 + y^2}$。
3. 替换变量：将原方程中的$x$替换为$\sqrt{x^2 + y^2}$，保持$z$不变，即可得到旋转曲面的方程。

原曲线为$z = x^2$且$y = 0$，位于xz平面。绕z轴旋转时，曲线上任意一点$(x, 0, x^2)$在空间中形成圆，其半径为$|x|$。旋转后的空间点$(X, Y, Z)$满足：

• 径向距离不变：$\sqrt{X^2 + Y^2} = |x|$，即$x = \sqrt{X^2 + Y^2}$。
• z坐标不变：$Z = x^2$。

将$x = \sqrt{X^2 + Y^2}$代入$Z = x^2$，得：
$Z = (\sqrt{X^2 + Y^2})^2 = X^2 + Y^2.$
因此，旋转曲面的方程为$z = x^2 + y^2$。