题目

设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.Y y1 y2 y3 X={X)_(i)} =(p)_(i)-|||-x-|||-x1 1/8-|||-x2 1/8-|||-P(Y Y=yj)=pj 1/6 1

设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.

题目解答

答案

因 P\\{Y=y_{j}\\}=P_{.j}=\\sum_{i=1}^{2}P\\{X=x_{i},Y=y_{j}\\} ,故 P\\{Y=y_{1}\\}=P\\{X=x_{1},Y=y_{1}\\}+P\\{X=x_{2},Y=y_{1}\\} ,从而 P\\{X=x_{1},Y=y_{1}\\}=\\frac{1}{6}-\\frac{1}{8}=\\frac{1}{24}. 而X与Y独立,故 P\\{X=x_{i}\\}\\cdot P\\{Y=y_{j}\\}=P\\{X=x_{i},Y=y_{i}\\} ,从而 P\\{X=x_{1}\\}\\times\\frac{1}{6}=P\\{X=x_{1},Y=y_{1}\\}=\\frac{1}{24}. 即: P\\{X=x_{1}\\}=\\frac{1}{24}/\\frac{1}{6}=\\frac{1}{4}. 又 P\\{X=x_{1}\\}=P\\{X=x_{1},Y=y_{1}\\}+P\\{X=x_{1},Y=y_{2}\\}+P\\{X=x_{1},Y=y_{ 即 \\frac{1}{4}=\\frac{1}{24}+\\frac{1}{8}+P\\{X=x_{1}Y=y_{3}\\} ,从而 P\\{X=x_{1},Y=y_{3}\\}=\\frac{1}{12}. 同理 P\\{Y=y_{2}\\}=\\frac{1}{2},P\\{X=x_{2},Y=y_{2}\\}=\\frac{3}{8} 又 \\sum_{j=1}^{3}P\\{Y=y_{j}\\}=1 ,故 P\\{Y=y_{3}\\}=1-\\frac{1}{6}-\\frac{1}{2}=\\frac{1}{3}. 同理 P\\{X=x_{2}\\}=\\frac{3}{4}. 从而 P\\{X=x_{2},Y=y_{3}\\} 故 Y y_{1}y_{2}y_{3}X x_{1}\\frac{1}{24}\\frac{1}{8}\\frac{1}{12}x_{2}\\frac{1}{8}\\frac{3}{8}\\frac{1}{4}P\\{Y=y_{j}\\}=p_{j}\\frac{1}{6}\\frac{1}{2}\\frac{1}{3}P\\{X=x_{i}\\}=P_{i}\\frac{1}{4}\\frac{3}{4}

解析

考查要点：本题主要考查二维随机变量的联合分布律与边缘分布律的关系，以及随机变量独立性的应用。

解题核心思路：

  1. 利用边缘分布律的定义：边缘分布律是联合分布律的行或列的累加结果。
  2. 独立性的条件：若随机变量独立，则联合概率等于各自边缘概率的乘积。
  3. 概率的归一性：所有概率之和为1，用于验证结果的正确性。

破题关键点：

  • 通过已知的边缘概率和联合概率，结合独立性条件，逐步推导未知概率。
  • 注意行和列的概率之和需满足边缘分布律的要求。

步骤1：确定Y的边缘分布律

根据题目给出的Y的边缘分布律部分值：

  • $P\{Y=y_1\} = \frac{1}{6}$，$P\{Y=y_2\} = \frac{1}{2}$，$P\{Y=y_3\} = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。

步骤2：利用独立性求X的边缘分布律

  • 已知：$P\{X=x_2\} = \frac{3}{4}$（由题目中X的边缘分布律），故$P\{X=x_1\} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$。

步骤3：计算联合分布律中的空白值

  1. $P\{X=x_1, Y=y_1\}$：

    • 由独立性：$P\{X=x_1, Y=y_1\} = P\{X=x_1\} \cdot P\{Y=y_1\} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$。

  2. $P\{X=x_1, Y=y_3\}$：

    • 根据X的边缘分布律：$\frac{1}{4} = \frac{1}{24} + \frac{1}{8} + P\{X=x_1, Y=y_3\}$，解得$P\{X=x_1, Y=y_3\} = \frac{1}{12}$。

  3. $P\{X=x_2, Y=y_2\}$：

    • 由独立性：$P\{X=x_2, Y=y_2\} = P\{X=x_2\} \cdot P\{Y=y_2\} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$。

  4. $P\{X=x_2, Y=y_3\}$：

    • 根据Y的边缘分布律：$\frac{1}{3} = \frac{1}{12} + P\{X=x_2, Y=y_3\}$，解得$P\{X=x_2, Y=y_3\} = \frac{1}{4}$。