题目
设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.Y y1 y2 y3 X={X)_(i)} =(p)_(i)-|||-x-|||-x1 1/8-|||-x2 1/8-|||-P(Y Y=yj)=pj 1/6 1
设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.
题目解答
答案
因 P\\{Y=y_{j}\\}=P_{.j}=\\sum_{i=1}^{2}P\\{X=x_{i},Y=y_{j}\\} ,故 P\\{Y=y_{1}\\}=P\\{X=x_{1},Y=y_{1}\\}+P\\{X=x_{2},Y=y_{1}\\} ,从而 P\\{X=x_{1},Y=y_{1}\\}=\\frac{1}{6}-\\frac{1}{8}=\\frac{1}{24}. 而X与Y独立,故 P\\{X=x_{i}\\}\\cdot P\\{Y=y_{j}\\}=P\\{X=x_{i},Y=y_{i}\\} ,从而 P\\{X=x_{1}\\}\\times\\frac{1}{6}=P\\{X=x_{1},Y=y_{1}\\}=\\frac{1}{24}. 即: P\\{X=x_{1}\\}=\\frac{1}{24}/\\frac{1}{6}=\\frac{1}{4}. 又 P\\{X=x_{1}\\}=P\\{X=x_{1},Y=y_{1}\\}+P\\{X=x_{1},Y=y_{2}\\}+P\\{X=x_{1},Y=y_{ 即 \\frac{1}{4}=\\frac{1}{24}+\\frac{1}{8}+P\\{X=x_{1}Y=y_{3}\\} ,从而 P\\{X=x_{1},Y=y_{3}\\}=\\frac{1}{12}. 同理 P\\{Y=y_{2}\\}=\\frac{1}{2},P\\{X=x_{2},Y=y_{2}\\}=\\frac{3}{8} 又 \\sum_{j=1}^{3}P\\{Y=y_{j}\\}=1 ,故 P\\{Y=y_{3}\\}=1-\\frac{1}{6}-\\frac{1}{2}=\\frac{1}{3}. 同理 P\\{X=x_{2}\\}=\\frac{3}{4}. 从而 P\\{X=x_{2},Y=y_{3}\\} 故 Y y_{1}y_{2}y_{3}X x_{1}\\frac{1}{24}\\frac{1}{8}\\frac{1}{12}x_{2}\\frac{1}{8}\\frac{3}{8}\\frac{1}{4}P\\{Y=y_{j}\\}=p_{j}\\frac{1}{6}\\frac{1}{2}\\frac{1}{3}P\\{X=x_{i}\\}=P_{i}\\frac{1}{4}\\frac{3}{4}
解析
步骤 1：计算 P{X=x1,Y=y1}
根据边缘分布律，P{Y=y1} = P{X=x1,Y=y1} + P{X=x2,Y=y1}，已知 P{Y=y1} = 1/6，P{X=x2,Y=y1} = 1/8，所以 P{X=x1,Y=y1} = 1/6 - 1/8 = 1/24。
步骤 2：计算 P{X=x1}
由于X和Y独立，P{X=x1,Y=y1} = P{X=x1} * P{Y=y1}，所以 P{X=x1} = P{X=x1,Y=y1} / P{Y=y1} = (1/24) / (1/6) = 1/4。
步骤 3：计算 P{X=x1,Y=y3}
根据边缘分布律，P{X=x1} = P{X=x1,Y=y1} + P{X=x1,Y=y2} + P{X=x1,Y=y3}，已知 P{X=x1} = 1/4，P{X=x1,Y=y1} = 1/24，P{X=x1,Y=y2} = 1/8，所以 P{X=x1,Y=y3} = 1/4 - 1/24 - 1/8 = 1/12。
步骤 4：计算 P{Y=y2}
根据边缘分布律，P{Y=y2} = P{X=x1,Y=y2} + P{X=x2,Y=y2}，已知 P{X=x1,Y=y2} = 1/8，P{X=x2,Y=y2} = 3/8，所以 P{Y=y2} = 1/8 + 3/8 = 1/2。
步骤 5：计算 P{X=x2,Y=y2}
由于X和Y独立，P{X=x2,Y=y2} = P{X=x2} * P{Y=y2}，已知 P{X=x2} = 3/4，P{Y=y2} = 1/2，所以 P{X=x2,Y=y2} = (3/4) * (1/2) = 3/8。
步骤 6：计算 P{Y=y3}
根据边缘分布律，P{Y=y3} = 1 - P{Y=y1} - P{Y=y2}，已知 P{Y=y1} = 1/6，P{Y=y2} = 1/2，所以 P{Y=y3} = 1 - 1/6 - 1/2 = 1/3。
步骤 7：计算 P{X=x2,Y=y3}
由于X和Y独立，P{X=x2,Y=y3} = P{X=x2} * P{Y=y3}，已知 P{X=x2} = 3/4，P{Y=y3} = 1/3，所以 P{X=x2,Y=y3} = (3/4) * (1/3) = 1/4。
步骤 8：计算 P{X=x2}
根据边缘分布律，P{X=x2} = P{X=x2,Y=y1} + P{X=x2,Y=y2} + P{X=x2,Y=y3}，已知 P{X=x2,Y=y1} = 1/8，P{X=x2,Y=y2} = 3/8，P{X=x2,Y=y3} = 1/4，所以 P{X=x2} = 1/8 + 3/8 + 1/4 = 3/4。
根据边缘分布律，P{Y=y1} = P{X=x1,Y=y1} + P{X=x2,Y=y1}，已知 P{Y=y1} = 1/6，P{X=x2,Y=y1} = 1/8，所以 P{X=x1,Y=y1} = 1/6 - 1/8 = 1/24。
步骤 2：计算 P{X=x1}
由于X和Y独立，P{X=x1,Y=y1} = P{X=x1} * P{Y=y1}，所以 P{X=x1} = P{X=x1,Y=y1} / P{Y=y1} = (1/24) / (1/6) = 1/4。
步骤 3：计算 P{X=x1,Y=y3}
根据边缘分布律，P{X=x1} = P{X=x1,Y=y1} + P{X=x1,Y=y2} + P{X=x1,Y=y3}，已知 P{X=x1} = 1/4，P{X=x1,Y=y1} = 1/24，P{X=x1,Y=y2} = 1/8，所以 P{X=x1,Y=y3} = 1/4 - 1/24 - 1/8 = 1/12。
步骤 4：计算 P{Y=y2}
根据边缘分布律，P{Y=y2} = P{X=x1,Y=y2} + P{X=x2,Y=y2}，已知 P{X=x1,Y=y2} = 1/8，P{X=x2,Y=y2} = 3/8，所以 P{Y=y2} = 1/8 + 3/8 = 1/2。
步骤 5：计算 P{X=x2,Y=y2}
由于X和Y独立，P{X=x2,Y=y2} = P{X=x2} * P{Y=y2}，已知 P{X=x2} = 3/4，P{Y=y2} = 1/2，所以 P{X=x2,Y=y2} = (3/4) * (1/2) = 3/8。
步骤 6：计算 P{Y=y3}
根据边缘分布律，P{Y=y3} = 1 - P{Y=y1} - P{Y=y2}，已知 P{Y=y1} = 1/6，P{Y=y2} = 1/2，所以 P{Y=y3} = 1 - 1/6 - 1/2 = 1/3。
步骤 7：计算 P{X=x2,Y=y3}
由于X和Y独立，P{X=x2,Y=y3} = P{X=x2} * P{Y=y3}，已知 P{X=x2} = 3/4，P{Y=y3} = 1/3，所以 P{X=x2,Y=y3} = (3/4) * (1/3) = 1/4。
步骤 8：计算 P{X=x2}
根据边缘分布律，P{X=x2} = P{X=x2,Y=y1} + P{X=x2,Y=y2} + P{X=x2,Y=y3}，已知 P{X=x2,Y=y1} = 1/8，P{X=x2,Y=y2} = 3/8，P{X=x2,Y=y3} = 1/4，所以 P{X=x2} = 1/8 + 3/8 + 1/4 = 3/4。