(int )_(0)^sqrt (2)sqrt (2-{x)^2}dx

考查要点：本题主要考查利用几何意义计算定积分的能力，需要将积分表达式转化为几何图形的面积进行求解。

解题核心思路：

1. 识别积分函数的几何意义：将被积函数$y = \sqrt{2 - x^2}$转化为圆的方程，明确其表示圆的上半部分。
2. 确定积分区间对应的区域：积分区间$x \in [0, \sqrt{2}]$对应圆的右半部分，因此积分值对应四分之一圆的面积。
3. 直接计算面积：通过几何公式快速得出结果，避免复杂的积分运算。

破题关键点：

• 联想到圆的方程：通过平方消去根号，得到$x^2 + y^2 = 2$，明确图形为半径$\sqrt{2}$的圆。
• 判断积分区域：积分区间和函数定义域共同限定出四分之一圆的范围。

1. 分析被积函数的几何意义
   被积函数为$y = \sqrt{2 - x^2}$，两边平方得：
   $y^2 = 2 - x^2 \implies x^2 + y^2 = 2 \quad (y \geq 0)$
   这表示以原点为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆的上半部分。

2. 确定积分对应的几何区域

   • 积分区间$x \in [0, \sqrt{2}]$对应圆的右半部分（$x \geq 0$）。
   • 结合$y \geq 0$，积分区域是圆在第一象限的部分，即四分之一圆。

3. 计算四分之一圆的面积
   整个圆的面积为$\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$，因此四分之一圆的面积为：
   $\frac{1}{4} \times 2\pi = \frac{\pi}{2}$