题目
函数(f(x)= x^3-3x^2-9x+ 5)在([-4,, 4])上的最大值为________．
函数${f(x)= x^{3}-3x^{2}-9x+ 5}$在${[-4,\, 4]}$上的最大值为________．
题目解答
答案
[解答]
解：∵${f(x)= x^{3}-3x^{2}-9x+ 5}$，∴${f′(x)= 3x^{2}-6x-9= 3(x+ 1)(x-3)}$；
故当${x\in [-4,\, -1),\, (3,\, 4]}$时，${f′(x)>0}$；
当${x\in (-1,\, 3)}$时，${f′(x)<0}$；
故${f(x)= x^{3}-3x^{2}-9x+ 5}$在${\in [-4,\, -1),\, (3,\, 4]}$上是增函数，
在${(-1,\, 3)}$上是减函数，
而${f(-1)= -1-3+ 9+ 5= 10}$，
${f(4)= 64-48-36+ 5= -15}$；
故函数${f(x)= x^{3}-3x^{2}-9x+ 5}$在${[-4,\, 4]}$上的最大值为${10}$；
故答案为：${10}$．
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数${f(x)= x^{3}-3x^{2}-9x+ 5}$的导数${f′(x)}$。根据导数的定义，我们有：
${f′(x)= 3x^{2}-6x-9}$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数${f′(x)}$的零点，即求解方程${3x^{2}-6x-9= 0}$。通过因式分解，我们得到：
${3(x+ 1)(x-3)= 0}$
因此，导数的零点为${x= -1}$和${x= 3}$。
步骤 3：确定函数的单调性
根据导数的零点，我们可以确定函数${f(x)}$在区间${[-4,\, 4]}$上的单调性。当${x\in [-4,\, -1)}$和${x\in (3,\, 4]}$时，${f′(x)>0}$，函数是增函数；当${x\in (-1,\, 3)}$时，${f′(x)<0}$，函数是减函数。
步骤 4：计算函数在关键点的值
根据函数的单调性，我们需要计算函数在${x= -1}$和${x= 3}$处的值，以及在区间端点${x= -4}$和${x= 4}$处的值，以确定函数的最大值。
${f(-1)= (-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+ 5= 10}$
${f(3)= 3^{3}-3(3)^{2}-9(3)+ 5= -22}$
${f(-4)= (-4)^{3}-3(-4)^{2}-9(-4)+ 5= -75}$
${f(4)= 4^{3}-3(4)^{2}-9(4)+ 5= -15}$
步骤 5：确定最大值
根据计算结果，我们可以看出函数${f(x)}$在区间${[-4,\, 4]}$上的最大值为${10}$，在${x= -1}$处取得。
首先，我们需要求出函数${f(x)= x^{3}-3x^{2}-9x+ 5}$的导数${f′(x)}$。根据导数的定义，我们有：
${f′(x)= 3x^{2}-6x-9}$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数${f′(x)}$的零点，即求解方程${3x^{2}-6x-9= 0}$。通过因式分解，我们得到：
${3(x+ 1)(x-3)= 0}$
因此，导数的零点为${x= -1}$和${x= 3}$。
步骤 3：确定函数的单调性
根据导数的零点，我们可以确定函数${f(x)}$在区间${[-4,\, 4]}$上的单调性。当${x\in [-4,\, -1)}$和${x\in (3,\, 4]}$时，${f′(x)>0}$，函数是增函数；当${x\in (-1,\, 3)}$时，${f′(x)<0}$，函数是减函数。
步骤 4：计算函数在关键点的值
根据函数的单调性，我们需要计算函数在${x= -1}$和${x= 3}$处的值，以及在区间端点${x= -4}$和${x= 4}$处的值，以确定函数的最大值。
${f(-1)= (-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+ 5= 10}$
${f(3)= 3^{3}-3(3)^{2}-9(3)+ 5= -22}$
${f(-4)= (-4)^{3}-3(-4)^{2}-9(-4)+ 5= -75}$
${f(4)= 4^{3}-3(4)^{2}-9(4)+ 5= -15}$
步骤 5：确定最大值
根据计算结果，我们可以看出函数${f(x)}$在区间${[-4,\, 4]}$上的最大值为${10}$，在${x= -1}$处取得。