题目
ln (-4-3i)= ( ) A)ln 5 + i(-pi + arctan (3)/(4)) B)ln 5 + i(pi + arctan (3)/(4)) C)ln 5 + i(-pi + arctan (4)/(3)) D)ln 5 + i(pi + arctan (4)/(3))
$\ln (-4-3i)= (\quad)$
A)$\ln 5 + i(-\pi + \arctan \frac{3}{4})$
B)$\ln 5 + i(\pi + \arctan \frac{3}{4})$
C)$\ln 5 + i(-\pi + \arctan \frac{4}{3})$
D)$\ln 5 + i(\pi + \arctan \frac{4}{3})$
题目解答
答案
复数 $z = -4 - 3i$ 的模为：
\[
|z| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = 5
\]
幅角 $\theta$ 在第三象限，可表示为：
\[
\theta = -\pi + \arctan \frac{3}{4} \quad \text{(主值范围 $(-\pi, \pi]$)}
\]
或
\[
\theta = \pi + \arctan \frac{3}{4} \quad \text{(非主值范围)}
\]
复数对数为：
\[
\ln z = \ln |z| + i\theta = \ln 5 + i(-\pi + \arctan \frac{3}{4})
\]
对应选项 A。
**答案：A**
解析
考查要点：本题主要考查复数对数函数的计算，涉及复数的模长、幅角主值的确定，以及对数公式的应用。
解题核心思路：
- 计算复数的模长：利用公式 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，其中 $z = a + bi$。
- 确定幅角主值：根据复数所在象限，计算参考角并调整到主值范围 $(-\pi, \pi]$。
- 应用对数公式：复数对数公式为 $\ln z = \ln |z| + i\theta$，其中 $\theta$ 为主值幅角。
破题关键点：
- 第三象限复数的幅角处理：需注意主值范围的调整，避免直接使用 $\pi + \arctan \frac{3}{4}$ 超出范围。
- 排除干扰项：选项中 $\arctan \frac{4}{3}$ 的错误形式可直接排除。
步骤1：计算模长
复数 $z = -4 - 3i$ 的模长为：
$|z| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
步骤2：确定幅角主值
- 参考角计算：虚部与实部的绝对值比为 $\frac{3}{4}$，参考角为 $\arctan \frac{3}{4}$。
- 调整主值：复数在第三象限，主值幅角需满足 $(-\pi, \pi]$，因此：
$\theta = -\pi + \arctan \frac{3}{4}$
步骤3：应用对数公式
复数对数为：
$\ln z = \ln |z| + i\theta = \ln 5 + i\left(-\pi + \arctan \frac{3}{4}\right)$
选项分析
- 选项A：符合计算结果。
- 选项B：幅角未调整到主值范围。
- 选项C、D：参考角错误（$\arctan \frac{4}{3}$）。