题目
[例3]设 f(x)= {|)_(x=1)=1. (B) dfrac (dy)(dx)(|)_(x=1) 不存在. (C) dfrac (dy)(dx)(|)_(x=0)=0 (D) dfrac (dy)(dx)(|)_(x=0) 不存在.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 y=f(g(x)) 的表达式
根据 f(x) 和 g(x) 的定义，我们可以确定 y=f(g(x)) 的表达式。当 x>0 时，g(x)=-√x<0，因此 f(g(x))=(g(x))^4=(-√x)^4=x^2。当 x≤0 时，g(x)=x^2≥0，因此 f(g(x))=(g(x))^2=(x^2)^2=x^4。所以 y=f(g(x))= $\left \{ \begin{matrix} {x}^{2},x\gt 0\\ {x}^{4},x\leqslant 0\end{matrix} \right.$ 。
步骤 2：计算 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=1}$
当 x=1 时，y=x^2，因此 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=1}=2x{|}_{x=1}=2$。所以选项 (A) 和 (B) 都不正确。
步骤 3：计算 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=0}$
当 x=0 时，y=x^4，因此 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=0}=4x^3{|}_{x=0}=0$。所以选项 (C) 正确，选项 (D) 不正确。
根据 f(x) 和 g(x) 的定义，我们可以确定 y=f(g(x)) 的表达式。当 x>0 时，g(x)=-√x<0，因此 f(g(x))=(g(x))^4=(-√x)^4=x^2。当 x≤0 时，g(x)=x^2≥0，因此 f(g(x))=(g(x))^2=(x^2)^2=x^4。所以 y=f(g(x))= $\left \{ \begin{matrix} {x}^{2},x\gt 0\\ {x}^{4},x\leqslant 0\end{matrix} \right.$ 。
步骤 2：计算 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=1}$
当 x=1 时，y=x^2，因此 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=1}=2x{|}_{x=1}=2$。所以选项 (A) 和 (B) 都不正确。
步骤 3：计算 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=0}$
当 x=0 时，y=x^4，因此 $\dfrac {dy}{dx}{|}_{x=0}=4x^3{|}_{x=0}=0$。所以选项 (C) 正确，选项 (D) 不正确。