题目
lim _(narrow infty )((2n+1))^2sin dfrac (1)(2{n)^2} 值是(··)。 ()A、3B、1C、2D、∞
- A、3
- B、1
- C、2
- D、∞
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：将极限表达式分解
将给定的极限表达式分解为两个部分，即 $(2n+1)^2$ 和 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$，以便于分析。
步骤 2：分析 $(2n+1)^2$ 的极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$(2n+1)^2$ 也趋于无穷大。
步骤 3：分析 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$ 的极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$\dfrac{1}{2n^2}$ 趋于 0，因此 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$ 趋于 $\sin 0 = 0$。
步骤 4：应用等价无穷小替换
当 $x$ 趋于 0 时，$\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小，因此 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$ 可以用 $\dfrac{1}{2n^2}$ 替换。
步骤 5：计算极限
将 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$ 替换为 $\dfrac{1}{2n^2}$，则原极限表达式变为 $(2n+1)^2 \cdot \dfrac{1}{2n^2}$。进一步简化为 $\dfrac{(2n+1)^2}{2n^2}$，再简化为 $\dfrac{4n^2 + 4n + 1}{2n^2}$。当 $n$ 趋于无穷大时，该表达式趋于 $\dfrac{4}{2} = 2$。
将给定的极限表达式分解为两个部分，即 $(2n+1)^2$ 和 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$，以便于分析。
步骤 2：分析 $(2n+1)^2$ 的极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$(2n+1)^2$ 也趋于无穷大。
步骤 3：分析 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$ 的极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$\dfrac{1}{2n^2}$ 趋于 0，因此 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$ 趋于 $\sin 0 = 0$。
步骤 4：应用等价无穷小替换
当 $x$ 趋于 0 时，$\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小，因此 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$ 可以用 $\dfrac{1}{2n^2}$ 替换。
步骤 5：计算极限
将 $\sin \dfrac{1}{2n^2}$ 替换为 $\dfrac{1}{2n^2}$，则原极限表达式变为 $(2n+1)^2 \cdot \dfrac{1}{2n^2}$。进一步简化为 $\dfrac{(2n+1)^2}{2n^2}$，再简化为 $\dfrac{4n^2 + 4n + 1}{2n^2}$。当 $n$ 趋于无穷大时，该表达式趋于 $\dfrac{4}{2} = 2$。