7.设f(x)在(-∞,+∞)内有二阶导数,且f'(x_(0))=0,则f(x)满足( )时,f(x_(0))必是f(x)的最大值A. x=x_(0)是f(x)的唯一驻点B. x=x_(0)是f(x)的极大值点C. f''(x)在(-∞,+∞)内恒为负D. f''(x)不为零

本题考查函数极值的判定定理，解题的关键在于根据函数的一阶导数和二阶导数的性质来判断函数在某点是否取得最大值。

对各选项的分析

• A选项：
  仅知道$x = x_0$是$f(x)$的唯一驻点，驻点是一阶导数为$0$的点。但仅这一个条件不能确定$f(x_0)$就是最大值。例如函数$f(x)=x^3$，$f^\prime(x)=3x^2$，令$f^\prime(x)=0$，可得$x = 0$是唯一驻点，但$f(0)=0$并不是函数的最大值，因为当$x\to +\infty$时，$f(x)\to +\infty$。所以A选项错误。
• B选项：
  $x = x_0$是$f(x)$的极大值点，极大值是在局部范围内的最大值，但不一定是整个定义域$(-\infty, +\infty)$内的最大值。例如函数$f(x)=-(x - 1)^2(x + 1)^2$，对其求导$f^\prime(x)=-2(x - 1)(x + 1)^2-2(x - 1)^2(x + 1)=-2(x - 1)(x + 1)(x + 1+x - 1)=-4x(x^2 - 1)$，令$f^\prime(x)=0$，可得$x=-1,0,1$。当$x = 0$时，$f(0)=-1$是极大值点，但在整个定义域内，函数还有其他值比$-1$小，所以$f(0)$不是最大值。所以B选项错误。
• C选项：
  已知$f^\prime(x_0)=0$，且$f^{\prime\prime}(x)$在$(-\infty, +\infty)$内恒为负。根据函数极值的第二判定定理：设函数$f(x)$在$x_0$处具有二阶导数且$f^\prime(x_0)=0$，$f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$，那么当$f^{\prime\prime}(x_0)<0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值。因为$f^{\prime\prime}(x)$在$(-\infty, +\infty)$内恒为负，所以$f^{\prime\prime}(x_0)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值。又因为$f^{\prime\prime}(x)<0$，说明$f^\prime(x)$在$(-\infty, +\infty)$内单调递减，当$xf^\prime(x_0)=0$，函数$f(x)$单调递增；当$x>x_0$时，$f^\prime(x)
• D选项：
  $f^{\prime\prime}(x)$不为零，不能确定$f^{\prime\prime}(x)$的正负性。若$f^{\prime\prime}(x)$有正有负，就无法确定$f(x_0)$是最大值。例如函数$f(x)=x^4 - 2x^2$，$f^\prime(x)=4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$，令$f^\prime(x)=0$，可得$x=-1,0,1$。$f^{\prime\prime}(x)=12x^2 - 4$，$f^{\prime\prime}(x)$不为零，但$f(0)=0$不是最大值。所以D选项错误。