题目
5. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间[0,2]上的均匀分布，则P(min{X,Yleq1}=____.
5. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间[0,2]上的均匀分布，则P{$\min\{X,Y\}\leq1$}=____.
题目解答
答案
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立且服从 $[0,2]$ 上的均匀分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{2}$（$0 \leq x \leq 2$）。
事件 $\min\{X, Y\} \leq 1$ 的补集为 $\min\{X, Y\} > 1$，即 $X > 1$ 且 $Y > 1$。
计算补集概率：
\[
P\{X > 1\} = P\{Y > 1\} = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2}
\]
\[
P\{\min\{X, Y\} > 1\} = P\{X > 1\} \cdot P\{Y > 1\} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]
因此，
\[
P\{\min\{X, Y\} \leq 1\} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]
答案：$\boxed{\frac{3}{4}}$
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的概率密度函数
由于X和Y都服从区间[0,2]上的均匀分布，其概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{2}$（$0 \leq x \leq 2$）。
步骤 2：计算事件$\min\{X,Y\} > 1$的概率
事件$\min\{X,Y\} > 1$的补集为$X > 1$且$Y > 1$。计算$X > 1$和$Y > 1$的概率：
\[ P\{X > 1\} = P\{Y > 1\} = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \]
由于X和Y相互独立，所以
\[ P\{\min\{X,Y\} > 1\} = P\{X > 1\} \cdot P\{Y > 1\} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
步骤 3：计算事件$\min\{X,Y\} \leq 1$的概率
事件$\min\{X,Y\} \leq 1$的概率为事件$\min\{X,Y\} > 1$的补集的概率，即
\[ P\{\min\{X,Y\} \leq 1\} = 1 - P\{\min\{X,Y\} > 1\} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
由于X和Y都服从区间[0,2]上的均匀分布，其概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{2}$（$0 \leq x \leq 2$）。
步骤 2：计算事件$\min\{X,Y\} > 1$的概率
事件$\min\{X,Y\} > 1$的补集为$X > 1$且$Y > 1$。计算$X > 1$和$Y > 1$的概率：
\[ P\{X > 1\} = P\{Y > 1\} = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \]
由于X和Y相互独立，所以
\[ P\{\min\{X,Y\} > 1\} = P\{X > 1\} \cdot P\{Y > 1\} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
步骤 3：计算事件$\min\{X,Y\} \leq 1$的概率
事件$\min\{X,Y\} \leq 1$的概率为事件$\min\{X,Y\} > 1$的补集的概率，即
\[ P\{\min\{X,Y\} \leq 1\} = 1 - P\{\min\{X,Y\} > 1\} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]