设 f ( x ) 是连续函数 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数，则（ ） (A)当 f ( x ) 为奇函数时 F ( x ) 必为 偶函数 ; (B) 当 f ( x ) 为偶函数时 F ( x ) 必为 奇函数 ; (C)当 f ( x ) 为周期函数时 F ( x ) 必为周期 函数 ; (D) 当 f ( x ) 为单调增函数时 F ( x ) 必为单调增函数

考查要点：本题主要考查原函数与被积函数性质之间的关系，涉及奇偶性、周期性、单调性等概念。

解题核心思路：

1. 原函数的定义：若$F(x)$是$f(x)$的原函数，则$F'(x) = f(x)$，且$F(x)$连续。
2. 性质传递性：需分析$f(x)$的某种性质（奇偶性、周期性、单调性）是否必然导致$F(x)$具有对应性质。
3. 反例验证：通过构造具体函数验证选项是否成立，尤其注意积分常数的影响。

破题关键点：

• 奇函数的原函数：若$f(x)$是奇函数，且$F(x)$通过定积分（如$\int_0^x f(t)dt$）定义，则$F(x)$必为偶函数。
• 偶函数的原函数：若$f(x)$是偶函数，其原函数一般包含常数项，无法保证为奇函数。
• 周期函数的原函数：周期函数的原函数可能因累加效应失去周期性。
• 单调函数的原函数：单调增函数的原函数可能先减后增（如二次函数）。

选项A

分析：若$f(x)$为奇函数，则$F(x) = \int_0^x f(t)dt$满足：

1. $F(-x) = \int_0^{-x} f(t)dt = -\int_0^x f(-t)dt = -\int_0^x (-f(t))dt = \int_0^x f(t)dt = F(x)$，
   因此$F(x)$为偶函数。
   结论：选项A正确。

选项B

反例：取$f(x) = \cos x$（偶函数），其原函数$F(x) = \sin x + C$。

• 若$C \neq 0$，则$F(-x) = -\sin x + C \neq -(\sin x + C)$，故$F(x)$不是奇函数。
  结论：选项B错误。

选项C

反例：取$f(x) = \cos x + 1$（周期函数），其原函数$F(x) = \sin x + x + C$。

• $\sin x$是周期函数，但$x$不是，故$F(x)$整体无周期性。
  结论：选项C错误。

选项D

反例：取$f(x) = x$（单调增函数），其原函数$F(x) = \frac{1}{2}x^2 + C$。

• $F'(x) = x$，当$x < 0$时$F(x)$递减，当$x > 0$时递增，故$F(x)$整体不单调增。
  结论：选项D错误。