题目
设 f ( x ) 是连续函数 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数，则（ ） (A)当 f ( x ) 为奇函数时 F ( x ) 必为 偶函数 ; (B) 当 f ( x ) 为偶函数时 F ( x ) 必为 奇函数 ; (C)当 f ( x ) 为周期函数时 F ( x ) 必为周期 函数 ; (D) 当 f ( x ) 为单调增函数时 F ( x ) 必为单调增函数
设 f ( x ) 是连续函数 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数，则（ ）
(A)当 f ( x ) 为奇函数时 F ( x ) 必为 偶函数 ;
(B) 当 f ( x ) 为偶函数时 F ( x ) 必为 奇函数 ;
(C)当 f ( x ) 为周期函数时 F ( x ) 必为周期 函数 ;
(D) 当 f ( x ) 为单调增函数时 F ( x ) 必为单调增函数
题目解答
答案
已知
是
的原函数，则
并且连续。
选项B，设
,则
,我们可以看出是偶函数，但是不是奇函数，所以B选项错误。
选项C，设
,则
,我们可以看出是周期函数，但是不是周期函数，所以C选项错误。
选项D，设
,则
,我们可以看出是单调增函数，但是不是单调增函数，所以D选项错误。
故正确答案是A选项。
解析
步骤 1：分析奇函数和偶函数的性质
奇函数的性质是：$f(-x) = -f(x)$，偶函数的性质是：$f(-x) = f(x)$。原函数$F(x)$是$f(x)$的不定积分，即$F(x) = \int f(x) dx$。
步骤 2：分析选项A
当$f(x)$为奇函数时，$f(-x) = -f(x)$。由于$F(x)$是$f(x)$的原函数，即$F'(x) = f(x)$，则$F'(-x) = f(-x) = -f(x) = -F'(x)$。因此，$F(x)$的导数是奇函数，这意味着$F(x)$是偶函数。所以选项A正确。
步骤 3：分析选项B
当$f(x)$为偶函数时，$f(-x) = f(x)$。由于$F(x)$是$f(x)$的原函数，即$F'(x) = f(x)$，则$F'(-x) = f(-x) = f(x) = F'(x)$。因此，$F(x)$的导数是偶函数，这意味着$F(x)$不一定是奇函数。所以选项B错误。
步骤 4：分析选项C
当$f(x)$为周期函数时，$f(x+T) = f(x)$。由于$F(x)$是$f(x)$的原函数，即$F'(x) = f(x)$，则$F'(x+T) = f(x+T) = f(x) = F'(x)$。因此，$F(x)$的导数是周期函数，这意味着$F(x)$不一定是周期函数。所以选项C错误。
步骤 5：分析选项D
当$f(x)$为单调增函数时，$f'(x) > 0$。由于$F(x)$是$f(x)$的原函数，即$F'(x) = f(x)$，则$F''(x) = f'(x) > 0$。因此，$F(x)$的二阶导数大于0，这意味着$F(x)$是凹函数，但不一定是单调增函数。所以选项D错误。
奇函数的性质是：$f(-x) = -f(x)$，偶函数的性质是：$f(-x) = f(x)$。原函数$F(x)$是$f(x)$的不定积分，即$F(x) = \int f(x) dx$。
步骤 2：分析选项A
当$f(x)$为奇函数时，$f(-x) = -f(x)$。由于$F(x)$是$f(x)$的原函数，即$F'(x) = f(x)$，则$F'(-x) = f(-x) = -f(x) = -F'(x)$。因此，$F(x)$的导数是奇函数，这意味着$F(x)$是偶函数。所以选项A正确。
步骤 3：分析选项B
当$f(x)$为偶函数时，$f(-x) = f(x)$。由于$F(x)$是$f(x)$的原函数，即$F'(x) = f(x)$，则$F'(-x) = f(-x) = f(x) = F'(x)$。因此，$F(x)$的导数是偶函数，这意味着$F(x)$不一定是奇函数。所以选项B错误。
步骤 4：分析选项C
当$f(x)$为周期函数时，$f(x+T) = f(x)$。由于$F(x)$是$f(x)$的原函数，即$F'(x) = f(x)$，则$F'(x+T) = f(x+T) = f(x) = F'(x)$。因此，$F(x)$的导数是周期函数，这意味着$F(x)$不一定是周期函数。所以选项C错误。
步骤 5：分析选项D
当$f(x)$为单调增函数时，$f'(x) > 0$。由于$F(x)$是$f(x)$的原函数，即$F'(x) = f(x)$，则$F''(x) = f'(x) > 0$。因此，$F(x)$的二阶导数大于0，这意味着$F(x)$是凹函数，但不一定是单调增函数。所以选项D错误。