5.(2025·全国二卷)记S_(n)为等比数列a_{n)}的前n项和，q为a_{n)}的公比，q>0，若S_(3)=7，a_(3)=1，则（ ）A. q=(1)/(2)B. a_(5)=(1)/(9)C. S_(5)=8D. a_(n)+S_(n)=8

本题考查等比数列的通项公式、前$n$项和公式的应用。解题思路是先根据等比数列的通项公式和前$n$项和公式列出关于首项$a_1$和公比$q$的方程组，求解出$a_1$和$q$的值，再根据求出的值逐一分析选项。

设等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_1$，公比为$q(q\gt0)$。

• 步骤一：根据已知条件列出方程组
  等比数列的通项公式为$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$，前$n$项和公式为$S_{n}=\begin{cases}na_{1},&q = 1\\\dfrac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q},&q\neq 1\end{cases}$。
  已知$S_{3}=7$，$a_{3}=1$，当$q = 1$时，$S_{3}=3a_{1}$，$a_{3}=a_{1}$，则$3a_{1}=7$且$a_{1}=1$，矛盾，所以$q\neq 1$。
  那么可得$\begin{cases}\dfrac{a_{1}(1 - q^{3})}{1 - q}=7\\a_{1}q^{2}=1\end{cases}$。
• 步骤二：求解方程组
  由$a_{1}q^{2}=1$可得$a_{1}=\dfrac{1}{q^{2}}$，将其代入$\dfrac{a_{1}(1 - q^{3})}{1 - q}=7$中，得到$\dfrac{\dfrac{1}{q^{2}}(1 - q^{3})}{1 - q}=7$。
  对$\dfrac{\dfrac{1}{q^{2}}(1 - q^{3})}{1 - q}$进行化简：
  $\begin{align*}\dfrac{\dfrac{1}{q^{2}}(1 - q^{3})}{1 - q}&=\dfrac{1 - q^{3}}{q^{2}(1 - q)}\\&=\dfrac{(1 - q)(1 + q + q^{2})}{q^{2}(1 - q)}\\&=\dfrac{1 + q + q^{2}}{q^{2}}\end{align*}$
  则$\dfrac{1 + q + q^{2}}{q^{2}}=7$，等式两边同时乘以$q^{2}$得到$1 + q + q^{2}=7q^{2}$，移项可得$6q^{2}-q - 1 = 0$。
  因式分解$6q^{2}-q - 1$为$(2q - 1)(3q + 1)$，则$(2q - 1)(3q + 1)=0$，解得$q = \dfrac{1}{2}$或$q = -\dfrac{1}{3}$，因为$q\gt0$，所以$q = \dfrac{1}{2}$。
  将$q = \dfrac{1}{2}$代入$a_{1}q^{2}=1$，可得$a_{1}\times(\dfrac{1}{2})^{2}=1$，即$\dfrac{1}{4}a_{1}=1$，解得$a_{1}=4$。
• 步骤三：逐一分析选项
  • 选项A：判断$q$的值
    由前面计算可知$q = \dfrac{1}{2}$，所以选项A正确。
  • 选项B：计算$a_{5}$的值
    根据通项公式$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$，可得$a_{5}=a_{1}q^{4}=4\times(\dfrac{1}{2})^{4}=4\times\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{4}\neq\dfrac{1}{9}$，所以选项B错误。
  • 选项C：计算$S_{5}$的值
    根据前$n$项和公式$S_{n}=\dfrac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$，可得$S_{5}=\dfrac{4\times[1 - (\dfrac{1}{2})^{5}]}{1 - \dfrac{1}{2}}=\dfrac{4\times(1 - \dfrac{1}{32})}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{4\times\dfrac{31}{32}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{31}{4}\neq8$，所以选项C错误。
  • 选项D：计算$a_{n}+S_{n}$的值
    由通项公式可得$a_{n}=4\times(\dfrac{1}{2})^{n - 1}=(\dfrac{1}{2})^{n - 3}$，由前$n$项和公式可得$S_{n}=\dfrac{4\times[1 - (\dfrac{1}{2})^{n}]}{1 - \dfrac{1}{2}}=8\times(1 - \dfrac{1}{2^{n}})$。
    则$a_{n}+S_{n}=(\dfrac{1}{2})^{n - 3}+8\times(1 - \dfrac{1}{2^{n}})=8\times\dfrac{1}{2^{n}}+8 - 8\times\dfrac{1}{2^{n}}=8$，所以选项D正确。