[数二-18]设函数f(x)在x=0处连续，且lim_(xto0)(xf(x)-e^2sin x+1)/(ln(1+x)+ln(1-x))=-3，证明f(x)在x=0可导，并求f'(0)

为了证明 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导并求 $ f'(0) $，我们从给定的极限条件出发，逐步分析。 给定条件是： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - e^{2\sin x} + 1}{\ln(1+x) + \ln(1-x)} = -3 \] 首先，我们简化分母。利用对数的性质，我们有： \[ \ln(1+x) + \ln(1-x) = \ln[(1+x)(1-x)] = \ln(1-x^2) \] 对于 $ x $ 接近 0 时，可以使用 $ \ln(1-x^2) $ 的泰勒展开： \[ \ln(1-x^2) \approx -x^2 \] 因此，原极限可以近似为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - e^{2\sin x} + 1}{-x^2} = -3 \] 这可以重写为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2\sin x} - 1 - xf(x)}{x^2} = -3 \] 接下来，我们使用 $ e^{2\sin x} $ 的泰勒展开。对于 $ x $ 接近 0，有 $ \sin x \approx x $，所以： \[ e^{2\sin x} \approx e^{2x} \approx 1 + 2x + 2x^2 \] 代入极限表达式，得到： \[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x + 2x^2) - 1 - xf(x)}{x^2} = -3 \] 简化分子： \[ \lim_{x \to 0} \frac{2x + 2x^2 - xf(x)}{x^2} = -3 \] 将分子中的 $ x $ 提出来： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x(2 + 2x - f(x))}{x^2} = -3 \] 约去 $ x $： \[ \lim_{x \to 0} \frac{2 + 2x - f(x)}{x} = -3 \] 重写为： \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 - f(x)}{x} + 2 \right) = -3 \] 将 2 移到极限的右边： \[ \lim_{x \to 0} \frac{2 - f(x)}{x} = -5 \] 重写为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 2}{x} = 5 \] 根据导数的定义， $ f'(0) $ 为： \[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} \] 因此，我们得出 $ f(0) = 2 $ 且 $ f'(0) = 5 $。 最后， $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导，且 $ f'(0) $ 的值为： \[ \boxed{5} \]