题目
问lambda， mu 取何值时，齐次线性方程组}lambda x_1+x_2+x_3=0x_1+mu x_2+x_3=0x_1+2mu x_2+x_3=0有非零解？
问
$\lambda$，$ \mu$ 取何值时，齐次线性方程组$\begin{cases}\lambda x_1+x_2+x_3=0\\\\x_1+\mu x_2+x_3=0\\\\x_1+2\mu x_2+x_3=0\end{cases}$有非零解？题目解答
答案
【答案】
$\lambda=1$或$\mu=0$．
【解析】
$\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\1&\mu&1\\1&2\mu&1\end{vmatrix}=0\Rightarrow\lambda=1$或$\mu=0$．
解析
步骤 1：写出系数矩阵
将给定的齐次线性方程组写成矩阵形式，得到系数矩阵为：
$$
A=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \mu & 1 \\
1 & 2\mu & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
为了判断方程组是否有非零解，我们需要计算系数矩阵的行列式。如果行列式为零，则方程组有非零解。
$$
\begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \mu & 1 \\
1 & 2\mu & 1
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：行列式为零的条件
计算行列式，得到：
$$
\begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \mu & 1 \\
1 & 2\mu & 1
\end{vmatrix} = \lambda(\mu - 2\mu) - 1(1 - 1) + 1(2\mu - \mu) = -\lambda\mu + \mu
$$
令行列式等于零，得到：
$$
-\lambda\mu + \mu = 0
$$
解得：
$$
\lambda = 1 \quad \text{或} \quad \mu = 0
$$
将给定的齐次线性方程组写成矩阵形式，得到系数矩阵为：
$$
A=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \mu & 1 \\
1 & 2\mu & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
为了判断方程组是否有非零解，我们需要计算系数矩阵的行列式。如果行列式为零，则方程组有非零解。
$$
\begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \mu & 1 \\
1 & 2\mu & 1
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：行列式为零的条件
计算行列式，得到：
$$
\begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \mu & 1 \\
1 & 2\mu & 1
\end{vmatrix} = \lambda(\mu - 2\mu) - 1(1 - 1) + 1(2\mu - \mu) = -\lambda\mu + \mu
$$
令行列式等于零，得到：
$$
-\lambda\mu + \mu = 0
$$
解得：
$$
\lambda = 1 \quad \text{或} \quad \mu = 0
$$