1.利用洛必达法则求下列极限-|||-1) lim sinx-x cosx-|||-x →0 sin3x

步骤 1：确定极限类型
首先，我们需要确定极限类型。当 \( x \to 0 \) 时，分子 \( \sin x - x \cos x \) 和分母 \( \sin^3 x \) 都趋于 0，因此这是一个 \( \frac{0}{0} \) 型的极限，可以使用洛必达法则。

步骤 2：应用洛必达法则
根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^3 x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x - x \cos x)'}{(\sin^3 x)'}
\]
分子的导数为：
\[
(\sin x - x \cos x)' = \cos x - (\cos x - x \sin x) = x \sin x
\]
分母的导数为：
\[
(\sin^3 x)' = 3 \sin^2 x \cos x
\]
因此，原极限变为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{3 \sin^2 x \cos x}
\]

步骤 3：简化表达式
进一步简化表达式：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{3 \sin^2 x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{3 \sin x \cos x}
\]
由于 \( \sin x \sim x \) 当 \( x \to 0 \)，所以：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{3 \sin x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \cos x} = \frac{1}{3}
\]