22. (10.0分) 证 明：z=f(x,y)=} (xy)/(sqrt(x^2)+y^(2)),&x^2+y^2neq00&x^2+y^2=0在(0,0)处的两个偏导存在，但z在(0,0)不可微.

这是一道关于多元函数微分学的证明题。我们需要证明函数 $z = f(x,y)$ 在原点 $(0,0)$ 处的两个偏导数存在，但该函数在 $(0,0)$ 处不可微。

题目给出的函数为：
$z = f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases}$

证明过程如下：

第一步：证明在 $(0,0)$ 处的两个偏导数存在。

根据偏导数的定义，函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处对 $x$ 的偏导数为：
$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x}$
将函数值代入：
当 $y=0$ 且 $x \neq 0$ 时，$f(x,0) = \frac{x \cdot 0}{\sqrt{x^2 + 0^2}} = 0$。
已知 $f(0,0) = 0$。
所以，
$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 0 = 0$

同理，函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处对 $y$ 的偏导数为：
$f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, \Delta y) - f(0,0)}{\Delta y}$
将函数值代入：
当 $x=0$ 且 $y \neq 0$ 时，$f(0,y) = \frac{0 \cdot y}{\sqrt{0^2 + y^2}} = 0$。
所以，
$f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} 0 = 0$

结论： $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$ 都存在且都等于 $0$。

第二步：证明 $z$ 在 $(0,0)$ 不可微。

根据二元函数可微的定义，如果函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，那么函数的全增量 $\Delta z$ 应该可以表示为：
$\Delta z = f(\Delta x, \Delta y) - f(0,0) = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$
其中 $A = f_x(0,0)$， $B = f_y(0,0)$， $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$。

由第一步可知，$A = 0$，$B = 0$。
函数的全增量为：
$\Delta z = f(\Delta x, \Delta y) - f(0,0) = \frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} - 0 = \frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}$

如果函数可微，则必须满足：
$\lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - (A \Delta x + B \Delta y)}{\rho} = 0$
代入已知量：
$\lim_{\rho \to 0} \frac{\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} - (0 \cdot \Delta x + 0 \cdot \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$

我们需要考察这个极限是否存在且等于 $0$。
令 $\Delta x = \rho \cos\theta$，$\Delta y = \rho \sin\theta$。当 $\rho \to 0$ 时，点 $(\Delta x, \Delta y)$ 趋近于 $(0,0)$。
代入上式：
$\frac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \frac{(\rho \cos\theta)(\rho \sin\theta)}{\rho^2 \cos^2\theta + \rho^2 \sin^2\theta} = \frac{\rho^2 \cos\theta \sin\theta}{\rho^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \cos\theta \sin\theta$

可以看出，当 $\rho \to 0$ 时，该表达式的值依赖于趋近路径（即角度 $\theta$）：

• 如果沿 $x$ 轴趋近（$\theta = 0$），极限值为 $\cos 0 \sin 0 = 0$。
• 如果沿直线 $y = x$ 趋近（$\theta = \frac{\pi}{4}$），极限值为 $\cos\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$。

因为沿不同路径趋近于 $(0,0)$ 时，极限值不唯一，所以极限 $\lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 不存在，更不可能等于 $0$。

结论： 函数 $z = f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不满足可微的定义。

综上所述：
函数 $z = f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的两个偏导数均存在（且为 $0$），但 $z$ 在 $(0,0)$ 处不可微。证明完毕。