计算行列式D=1 2 3 4-|||-1 0 1 2-|||-3 -1 .-1 0-|||-1 2 0 -5的值.

考查要点：本题主要考查行列式的展开计算，特别是利用代数余子式进行展开的方法。关键在于选择合适的列或行展开，以简化计算过程。

解题核心思路：

1. 观察行列式结构，优先选择元素较多或存在零元素的行/列展开，减少计算量。
2. 代数余子式的计算：需注意符号因子$(-1)^{i+j}$和对应余子式（去掉第$i$行第$j$列后的子行列式）。
3. 分步计算，避免直接展开高阶行列式，通过降阶逐步简化。

破题关键点：

• 选择第四列展开，因其包含零元素（第三行第四列），可减少一项计算。
• 准确计算各代数余子式，尤其是符号和子行列式的值。

行列式展开步骤：
给定行列式：
$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\1 & 0 & 1 & 2 \\3 & -1 & -1 & 0 \\1 & 2 & 0 & -5\end{vmatrix}$

按第四列展开：
$D = 4 \cdot A_{14} + 2 \cdot A_{24} + 0 \cdot A_{34} + (-5) \cdot A_{44}$

计算各代数余子式：

1. $A_{14}$：

   • 符号因子：$(-1)^{1+4} = -1$
   • 余子式$M_{14}$：
     $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot [(-1)(0) - (-1)(2)] - 0 \cdot [\cdots] + 1 \cdot [3 \cdot 2 - (-1) \cdot 1] = 2 + 7 = 9$
   • $A_{14} = -9$

2. $A_{24}$：

   • 符号因子：$(-1)^{2+4} = 1$
   • 余子式$M_{24}$：
     $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot [(-1)(0) - (-1)(2)] - 2 \cdot [\cdots] + 3 \cdot [3 \cdot 2 - (-1) \cdot 1] = 2 + 21 = 21$
   • $A_{24} = 21$

3. $A_{44}$：

   • 符号因子：$(-1)^{4+4} = 1$
   • 余子式$M_{44}$：
     $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot [0 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)] - 2 \cdot [\cdots] + 3 \cdot [1 \cdot (-1) - 0 \cdot 3] = 1 + 8 - 3 = 6$
   • $A_{44} = 6$

代入计算：
$$
D = 4 \cdot (-9) + 2 \cdot 21 + (-5) \cdot 6 = -36 + 42 - 30 = -24

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