1.3 若卢瑟福散射用的 α 粒子是放射性物质镭 C′放射的,其动能为 7.68×106 电子伏特。散射物质是原子序数 Z=79的金箔,试问散射角 θ=150°所对应的瞄准距离 b 多大?

步骤 1：确定卢瑟福散射公式
卢瑟福散射公式描述了散射角与瞄准距离的关系，公式为：
\[ b = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 E} \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \]
其中，\( Z_1 \) 和 \( Z_2 \) 分别是散射粒子和靶核的原子序数，\( e \) 是电子电荷，\( \epsilon_0 \) 是真空介电常数，\( E \) 是散射粒子的动能，\( \theta \) 是散射角。

步骤 2：代入已知数值
已知 \( Z_1 = 2 \)（α粒子的原子序数），\( Z_2 = 79 \)（金的原子序数），\( E = 7.68 \times 10^6 \) eV，\( \theta = 150^\circ \)。
将这些值代入公式中，得到：
\[ b = \frac{2 \times 79 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.68 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}} \cot\left(\frac{150^\circ}{2}\right) \]

步骤 3：计算瞄准距离 b
首先计算 \( \cot\left(\frac{150^\circ}{2}\right) \)：
\[ \cot\left(\frac{150^\circ}{2}\right) = \cot(75^\circ) = \frac{1}{\tan(75^\circ)} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \approx 0.2679 \]
然后计算 b：
\[ b = \frac{2 \times 79 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.68 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}} \times 0.2679 \]
\[ b \approx \frac{2 \times 79 \times 2.56 \times 10^{-38}}{4 \times 3.1416 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.68 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}} \times 0.2679 \]
\[ b \approx \frac{412.16 \times 10^{-38}}{1.2566 \times 10^{-11} \times 12.288 \times 10^{-13}} \times 0.2679 \]
\[ b \approx \frac{412.16 \times 10^{-38}}{1.546 \times 10^{-23}} \times 0.2679 \]
\[ b \approx 3.9664 \times 10^{-15} \text{m} \]