题目
设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知E(X-1)(X-2)=1 ，则λ=______？
设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知$$E(X-1)(X-2)=1 $$，则$$λ=$$______？
题目解答
答案
1
解析
步骤 1：理解Poisson分布的性质
Poisson分布的期望值和方差都是λ。即$$E(X) = λ$$，$$Var(X) = λ$$。
步骤 2：展开给定的期望表达式
给定的期望表达式为$$E(X-1)(X-2)$$，可以展开为$$E(X^2 - 3X + 2)$$。根据期望的线性性质，可以进一步分解为$$E(X^2) - 3E(X) + 2$$。
步骤 3：利用Poisson分布的性质求解
由于$$E(X) = λ$$，我们需要求出$$E(X^2)$$。根据方差的定义，$$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$，代入Poisson分布的性质，得到$$λ = E(X^2) - λ^2$$，从而$$E(X^2) = λ + λ^2$$。将$$E(X^2)$$和$$E(X)$$的值代入步骤2的表达式中，得到$$λ + λ^2 - 3λ + 2 = 1$$，简化得到$$λ^2 - 2λ + 1 = 0$$，即$$(λ - 1)^2 = 0$$，从而得到$$λ = 1$$。
Poisson分布的期望值和方差都是λ。即$$E(X) = λ$$，$$Var(X) = λ$$。
步骤 2：展开给定的期望表达式
给定的期望表达式为$$E(X-1)(X-2)$$，可以展开为$$E(X^2 - 3X + 2)$$。根据期望的线性性质，可以进一步分解为$$E(X^2) - 3E(X) + 2$$。
步骤 3：利用Poisson分布的性质求解
由于$$E(X) = λ$$，我们需要求出$$E(X^2)$$。根据方差的定义，$$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$，代入Poisson分布的性质，得到$$λ = E(X^2) - λ^2$$，从而$$E(X^2) = λ + λ^2$$。将$$E(X^2)$$和$$E(X)$$的值代入步骤2的表达式中，得到$$λ + λ^2 - 3λ + 2 = 1$$，简化得到$$λ^2 - 2λ + 1 = 0$$，即$$(λ - 1)^2 = 0$$，从而得到$$λ = 1$$。