题目
气球半径r是关于气球体积V的函数,其函数表达式为(V)=((dfrac {3V)(4pi ))}^dfrac (1{3)},当向一个气球充气时,刚开始气球膨胀得比较快,后来充的气多了,气球膨胀得就会慢一些,这是因为(V)=((dfrac {3V)(4pi ))}^dfrac (1{3)},,V越大,r'(V)越小,即随着气球体积增大,半径的变化率在变小.
气球半径r是关于气球体积V的函数,其函数表达式为
当向一个气球充气时,刚开始气球膨胀得比较快,后来充的气多了,气球膨胀得就会慢一些,这是因为
,V越大,r'(V)越小,即随着气球体积增大,半径的变化率在变小.
题目解答
答案
函数
，对其求导得到。
因为当 V 增大时，
的值变小，从而 r'(V) 变小。
这就意味着，随着气球体积的增加，半径增加的速度逐渐变慢。
例如，当气球体积较小时，哪怕增加相同的体积增量，半径的增加量会相对较大；而当气球体积已经较大时，同样的体积增量带来的半径增加量就会相对较小.
解析
步骤 1：求导
对函数$r(V)={(\dfrac {3V}{4\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$求导，得到$r'(V)=\dfrac {1}{4\pi }{(\dfrac {3V}{4\pi })}^{-\dfrac {2}{3}}$。
步骤 2：分析导数
分析导数$r'(V)=\dfrac {1}{4\pi }{(\dfrac {3V}{4\pi })}^{-\dfrac {2}{3}}$，可以看出当V增大时，${(\dfrac {3V}{4\pi })}^{-\dfrac {2}{3}}$的值变小，从而r'(V)变小。
步骤 3：解释变化率
随着气球体积的增加，半径增加的速度逐渐变慢。这意味着，当气球体积较小时，哪怕增加相同的体积增量，半径的增加量会相对较大；而当气球体积已经较大时，同样的体积增量带来的半径增加量就会相对较小。
对函数$r(V)={(\dfrac {3V}{4\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$求导，得到$r'(V)=\dfrac {1}{4\pi }{(\dfrac {3V}{4\pi })}^{-\dfrac {2}{3}}$。
步骤 2：分析导数
分析导数$r'(V)=\dfrac {1}{4\pi }{(\dfrac {3V}{4\pi })}^{-\dfrac {2}{3}}$，可以看出当V增大时，${(\dfrac {3V}{4\pi })}^{-\dfrac {2}{3}}$的值变小，从而r'(V)变小。
步骤 3：解释变化率
随着气球体积的增加，半径增加的速度逐渐变慢。这意味着，当气球体积较小时，哪怕增加相同的体积增量，半径的增加量会相对较大；而当气球体积已经较大时，同样的体积增量带来的半径增加量就会相对较小。