题目
五、(8分)求下列齐次线性方程组的一个基础解系。-|||- ) (x)_(1)-8(x)_(2)+10(x)_(3)+2(x)_(4)=0 2(x)_(1)+4(x)_(2)+5(x)_(3)-(x)_(4)=0 3(x)_(1)+8(x)_(2)+6(x)_ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出系数矩阵
将方程组的系数写成矩阵形式，得到系数矩阵 $A$。
步骤 2：化简系数矩阵
对系数矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为行最简形矩阵。
步骤 3：求解基础解系
根据行最简形矩阵，找出自由变量，求出基础解系。
【答案】
基础解系为 $\xi_1=(-16,3,4,0)^T$ 和 $\xi_2=(0,1,0,4)^T$。
【解析】
步骤 1：写出系数矩阵
方程组的系数矩阵为：
$$
A = \left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 2 & 4 & 5 & -1 \\ 3 & 8 & 6 & -2 \end{matrix} \right)
$$
步骤 2：化简系数矩阵
对系数矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为行最简形矩阵。首先，将第一行乘以2，减去第二行，将第一行乘以3，减去第三行，得到：
$$
\left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 20 & -15 & -5 \\ 0 & 32 & -24 & -8 \end{matrix} \right)
$$
然后，将第二行除以5，得到：
$$
\left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 32 & -24 & -8 \end{matrix} \right)
$$
接着，将第二行乘以8，减去第三行，得到：
$$
\left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)
$$
最后，将第二行除以4，得到行最简形矩阵：
$$
\left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)
$$
步骤 3：求解基础解系
根据行最简形矩阵，找出自由变量，求出基础解系。令 $x_3 = s$，$x_4 = t$，则有：
$$
\begin{cases} x_1 = 8x_2 - 10x_3 - 2x_4 \\ x_2 = \frac{3}{4}x_3 + \frac{1}{4}x_4 \end{cases}
$$
代入 $x_3 = s$，$x_4 = t$，得到：
$$
\begin{cases} x_1 = 8\left(\frac{3}{4}s + \frac{1}{4}t\right) - 10s - 2t = -16s + 3t \\ x_2 = \frac{3}{4}s + \frac{1}{4}t \end{cases}
$$
因此，基础解系为 $\xi_1=(-16,3,4,0)^T$ 和 $\xi_2=(0,1,0,4)^T$。
将方程组的系数写成矩阵形式，得到系数矩阵 $A$。
步骤 2：化简系数矩阵
对系数矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为行最简形矩阵。
步骤 3：求解基础解系
根据行最简形矩阵，找出自由变量，求出基础解系。
【答案】
基础解系为 $\xi_1=(-16,3,4,0)^T$ 和 $\xi_2=(0,1,0,4)^T$。
【解析】
步骤 1：写出系数矩阵
方程组的系数矩阵为：
$$
A = \left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 2 & 4 & 5 & -1 \\ 3 & 8 & 6 & -2 \end{matrix} \right)
$$
步骤 2：化简系数矩阵
对系数矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为行最简形矩阵。首先，将第一行乘以2，减去第二行，将第一行乘以3，减去第三行，得到：
$$
\left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 20 & -15 & -5 \\ 0 & 32 & -24 & -8 \end{matrix} \right)
$$
然后，将第二行除以5，得到：
$$
\left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 32 & -24 & -8 \end{matrix} \right)
$$
接着，将第二行乘以8，减去第三行，得到：
$$
\left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)
$$
最后，将第二行除以4，得到行最简形矩阵：
$$
\left( \begin{matrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)
$$
步骤 3：求解基础解系
根据行最简形矩阵，找出自由变量，求出基础解系。令 $x_3 = s$，$x_4 = t$，则有：
$$
\begin{cases} x_1 = 8x_2 - 10x_3 - 2x_4 \\ x_2 = \frac{3}{4}x_3 + \frac{1}{4}x_4 \end{cases}
$$
代入 $x_3 = s$，$x_4 = t$，得到：
$$
\begin{cases} x_1 = 8\left(\frac{3}{4}s + \frac{1}{4}t\right) - 10s - 2t = -16s + 3t \\ x_2 = \frac{3}{4}s + \frac{1}{4}t \end{cases}
$$
因此，基础解系为 $\xi_1=(-16,3,4,0)^T$ 和 $\xi_2=(0,1,0,4)^T$。