题目
如图所示 7.设函数 f(x)= {int )_(x)^0dfrac (sin 2t)(t)dt, xneq 0, a, x=0 . 在 x=0 处连续,则 a=_ __
如图所示
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数在 x=0 处的连续性条件
函数 f(x) 在 x=0 处连续，意味着当 x 趋近于 0 时，f(x) 的极限值等于 f(0) 的值，即 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = a$。
步骤 2：计算 $\lim_{x \to 0} f(x)$
首先，我们计算 $\lim_{x \to 0} \dfrac {1}{x}{\int }_{x}^{0}\dfrac {\sin 2t}{t}dt$。由于 $\dfrac {\sin 2t}{t}$ 在 t=0 处的极限为 2（因为 $\lim_{t \to 0} \dfrac {\sin 2t}{t} = 2$），我们可以使用洛必达法则或直接应用已知的极限结果来计算积分的极限。积分 $\int_{x}^{0}\dfrac {\sin 2t}{t}dt$ 在 x 趋近于 0 时，可以看作是 $\int_{x}^{0} 2 dt$，因为 $\dfrac {\sin 2t}{t}$ 在 t=0 附近近似为 2。因此，$\int_{x}^{0} 2 dt = -2x$。所以，$\lim_{x \to 0} \dfrac {1}{x}{\int }_{x}^{0}\dfrac {\sin 2t}{t}dt = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2x}{x} = -2$。
步骤 3：确定 a 的值
根据步骤 1 和步骤 2 的结果，我们有 $\lim_{x \to 0} f(x) = -2$，因此 a 必须等于 -2，以保证函数在 x=0 处连续。
函数 f(x) 在 x=0 处连续，意味着当 x 趋近于 0 时，f(x) 的极限值等于 f(0) 的值，即 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = a$。
步骤 2：计算 $\lim_{x \to 0} f(x)$
首先，我们计算 $\lim_{x \to 0} \dfrac {1}{x}{\int }_{x}^{0}\dfrac {\sin 2t}{t}dt$。由于 $\dfrac {\sin 2t}{t}$ 在 t=0 处的极限为 2（因为 $\lim_{t \to 0} \dfrac {\sin 2t}{t} = 2$），我们可以使用洛必达法则或直接应用已知的极限结果来计算积分的极限。积分 $\int_{x}^{0}\dfrac {\sin 2t}{t}dt$ 在 x 趋近于 0 时，可以看作是 $\int_{x}^{0} 2 dt$，因为 $\dfrac {\sin 2t}{t}$ 在 t=0 附近近似为 2。因此，$\int_{x}^{0} 2 dt = -2x$。所以，$\lim_{x \to 0} \dfrac {1}{x}{\int }_{x}^{0}\dfrac {\sin 2t}{t}dt = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2x}{x} = -2$。
步骤 3：确定 a 的值
根据步骤 1 和步骤 2 的结果，我们有 $\lim_{x \to 0} f(x) = -2$，因此 a 必须等于 -2，以保证函数在 x=0 处连续。