求曲面^2-z+xy=3在点(2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程

步骤 1：定义函数
令 $F(x, y, z) = {e}^{x} - z + xy - 3$，这是给定曲面的隐式方程。
步骤 2：计算偏导数
计算 $F(x, y, z)$ 对 $x$、$y$ 和 $z$ 的偏导数。
- ${F}_{x}' = \frac{\partial F}{\partial x} = {e}^{x} + y$
- ${F}_{y}' = \frac{\partial F}{\partial y} = x$
- ${F}_{z}' = \frac{\partial F}{\partial z} = -1$
步骤 3：计算偏导数在点 (2, 1, 0) 的值
将点 (2, 1, 0) 代入偏导数中。
- ${F}_{x}(2, 1, 0) = {e}^{2} + 1$
- ${F}_{y}(2, 1, 0) = 2$
- ${F}_{z}(2, 1, 0) = -1$
步骤 4：确定切平面方程
切平面方程由点 (2, 1, 0) 和法向量 ${F}_{x}(2, 1, 0)$、${F}_{y}(2, 1, 0)$、${F}_{z}(2, 1, 0)$ 确定。
- 切平面方程为 ${F}_{x}(2, 1, 0)(x - 2) + {F}_{y}(2, 1, 0)(y - 1) + {F}_{z}(2, 1, 0)(z - 0) = 0$
- 代入偏导数的值，得到 $({e}^{2} + 1)(x - 2) + 2(y - 1) - (z - 0) = 0$
- 简化得到 $(e^2 + 1)x + 2y - z - 2(e^2 + 1) - 2 = 0$
步骤 5：确定法线方程
法线方程由点 (2, 1, 0) 和法向量 ${F}_{x}(2, 1, 0)$、${F}_{y}(2, 1, 0)$、${F}_{z}(2, 1, 0)$ 确定。
- 法线方程为 $\frac{x - 2}{{F}_{x}(2, 1, 0)} = \frac{y - 1}{{F}_{y}(2, 1, 0)} = \frac{z - 0}{{F}_{z}(2, 1, 0)}$
- 代入偏导数的值，得到 $\frac{x - 2}{{e}^{2} + 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{-1}$