[单选题]已知方程x5-5x+k=0有3个不同的实根,则k的取值范围是(  ).A. (-∞,-4)B. (4,+∞)C. [-4,4]D. (-4,4)

考查要点：本题主要考查利用导数分析多项式方程实根个数的能力，涉及函数极值点的计算及图像交点的分析。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数$f(x) = x^5 -5x +k$，分析其图像与x轴的交点个数。
2. 求导找极值点：通过求导确定函数的极大值和极小值点，计算对应的函数值。
3. 极值与x轴的关系：当极大值大于0且极小值小于0时，函数图像与x轴有三个交点，对应方程有三个不同的实根。

破题关键点：

• 极值条件：极大值$f(-1) = 4 +k > 0$，极小值$f(1) = k -4 < 0$，联立解得$k \in (-4,4)$。

步骤1：构造函数并求导

设函数$f(x) = x^5 -5x +k$，求导得：
$f'(x) = 5x^4 -5$

步骤2：求极值点

令$f'(x) = 0$，解得：
$5x^4 -5 = 0 \implies x^4 = 1 \implies x = \pm 1$
因此，函数在$x = -1$和$x = 1$处有极值点。

步骤3：计算极值点的函数值

• 极大值（$x = -1$）：
  $f(-1) = (-1)^5 -5(-1) +k = -1 +5 +k = 4 +k$
• 极小值（$x = 1$）：
  $f(1) = 1^5 -5(1) +k = 1 -5 +k = k -4$

步骤4：分析极值与x轴的关系

当极大值$>0$且极小值$<0$时，函数图像与x轴有三个交点：
$\begin{cases}4 +k > 0 \implies k > -4 \\k -4 < 0 \implies k < 4\end{cases}$
联立得$k \in (-4,4)$。