题目
曲面 xy^2+z^3=12上点 (1,-2,2)处的切平面方程是 () A. x+y+3z=5 B. -x-y+3z=7 C. -x+y+3z=3 D. x-y+3z=9
$$ 曲面 $xy^{2}+z^{3}=12$上点 $(1,-2,2)$处的切平面方程是 () $$
A. $x+y+3z=5 $
B. $-x-y+3z=7 $
C. $-x+y+3z=3 $
D. $x-y+3z=9 $
题目解答
答案
D. $x-y+3z=9 $
解析
步骤 1：确定曲面方程和点
给定曲面方程为 $xy^{2}+z^{3}=12$，点 $(1,-2,2)$ 在曲面上。
步骤 2：计算偏导数
计算曲面方程在点 $(1,-2,2)$ 处的偏导数。
$$
\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2}+z^{3}) = y^{2} = (-2)^{2} = 4
$$
$$
\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}+z^{3}) = 2xy = 2(1)(-2) = -4
$$
$$
\frac{\partial}{\partial z}(xy^{2}+z^{3}) = 3z^{2} = 3(2)^{2} = 12
$$
步骤 3：确定切平面方程
切平面方程为：
$$
4(x-1) - 4(y+2) + 12(z-2) = 0
$$
化简得：
$$
4x - 4 - 4y - 8 + 12z - 24 = 0
$$
$$
4x - 4y + 12z - 36 = 0
$$
$$
x - y + 3z = 9
$$
给定曲面方程为 $xy^{2}+z^{3}=12$，点 $(1,-2,2)$ 在曲面上。
步骤 2：计算偏导数
计算曲面方程在点 $(1,-2,2)$ 处的偏导数。
$$
\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2}+z^{3}) = y^{2} = (-2)^{2} = 4
$$
$$
\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}+z^{3}) = 2xy = 2(1)(-2) = -4
$$
$$
\frac{\partial}{\partial z}(xy^{2}+z^{3}) = 3z^{2} = 3(2)^{2} = 12
$$
步骤 3：确定切平面方程
切平面方程为：
$$
4(x-1) - 4(y+2) + 12(z-2) = 0
$$
化简得：
$$
4x - 4 - 4y - 8 + 12z - 24 = 0
$$
$$
4x - 4y + 12z - 36 = 0
$$
$$
x - y + 3z = 9
$$