题目
设 (X,Y) 服从平面区域 D 上的均匀分布，若 G 也是平面上的某个区域，并以 S_D, S_G 分别表示区域 D, G 的面积，则系列叙述错误的是(）A. P((X,Y)in D)= 1B. P((X,Y)no in D)= 0 (括号内的符号表明随机点 (X,Y) 不属于样本空间 D)C. P((X,Y)in G)= (S_G)/(S_D)D. P((X,Y)no in G)= 1 - (S_(G cap D))/(S_D) (括号内的符号表示随机点 (X,Y) 不属于区域 G)
设 $(X,Y)$ 服从平面区域 $D$ 上的均匀分布，若 $G$ 也是平面上的某个区域，并以 $S_D, S_G$ 分别表示区域 $D, G$ 的面积，则系列叙述错误的是(）
A. $P((X,Y)\in D)= 1$
B. $P((X,Y)no \in D)= 0$ (括号内的符号表明随机点 $(X,Y)$ 不属于样本空间 $D$)
C. $P((X,Y)\in G)= \frac{S_G}{S_D}$
D. $P((X,Y)no \in G)= 1 - \frac{S_{G \cap D}}{S_D}$ (括号内的符号表示随机点 $(X,Y)$ 不属于区域 $G$)
题目解答
答案
C. $P((X,Y)\in G)= \frac{S_G}{S_D}$
解析
考查要点：本题主要考查二维均匀分布的概率计算，重点在于理解区域关系对概率的影响。
解题核心思路：
- 均匀分布的概率计算公式为：概率 = 目标区域面积 / 总样本区域面积。
- 关键点在于明确目标区域是否与样本区域D有交集，若无交集则概率为0，若有交集则需用交集面积计算。
破题关键：
- 选项C未考虑G是否完全包含在D内，直接使用SG，而正确公式应为S{G∩D}/S_D。
- 选项D正确应用了补集思想，即P(不属于G) = 1 - P(属于G)，且正确使用交集面积。
选项分析：
选项A
正确性：正确
解释：均匀分布在样本空间D上，概率密度函数仅在D内非零，因此P((X,Y)∈D)=1。
选项B
正确性：正确
解释：随机点必属于D，因此P((X,Y)∉D)=0。
选项C
正确性：错误
解释：
- 若G与D无交集，则P((X,Y)∈G)=0，但S_G/S_D可能不为0，此时公式不成立。
- 正确公式应为：P((X,Y)∈G)=S_{G∩D}/S_D。
选项D
正确性：正确
解释：
- P((X,Y)∉G)=1 - P((X,Y)∈G)。
- P((X,Y)∈G)=S_{G∩D}/SD，因此P((X,Y)∉G)=1 - S{G∩D}/S_D。