题目

如图所示，AA'和CC'为两个正交放置的圆形线圈，其圆心相重合。AA'线圈半径为20.0cm, 共10匝, 通有电流10.0A；而CC'线圈的半径为10.0cm, 共20匝，通有电流5.0A。求两线圈公共中心O点的磁感应强度的大小和方向。（_(0)=4pi times (10)^-7Ncdot (A)^-2）

如图所示，AA'和CC'为两个正交放置的圆形线圈，其圆心相重合。AA'线圈半径为20.0cm, 共10匝, 通有电流10.0A；而CC'线圈的半径为10.0cm, 共20匝，通有电流5.0A。求两线圈公共中心O点的磁感应强度的大小和方向。（ $\mu_0=4\pi\times10^{-7}N\cdot A^{-2}$ ）

题目解答

答案

对于线圈AA'，根据安培环路定律

圆环中心处磁感应强度为 $B=\frac{\mu_0I}{2r}$

由于是多匝线圈

因此 $B_A=\frac{n\mu_0I}{2\pi r_{AA'}}=250\mu_0$ ,根据右手定则，方向垂直于AA'平面向右

同理，对于线圈CC'，

$B_C=\frac{n\mu_0I}{2\pi r_{CC'}}=500\mu_0$ ,方向垂直CC'平面向上

由叠加原理，O点处磁感应强度为

$B=\sqrt{B_A^2+B_C^2}=7.02\times10^{-4}T$

其方向在和AA',CC'都垂直的平面内，和CC'平面夹角为

$\theta=\tan^{-1}\frac{B_C}{B_A}=63.4^\circ$

解析

考查要点：本题主要考查圆形线圈中心磁感应强度的计算及矢量叠加原理的应用。
解题核心思路：

分别计算两个线圈在中心点产生的磁感应强度大小，使用公式 $B = \dfrac{n\mu_0 I}{2r}$；
确定每个磁场的方向，利用右手螺旋定则判断；
利用矢量叠加原理，将两个互相垂直的磁场合成，计算总磁感应强度的大小和方向。
破题关键点：

正确应用多匝线圈的磁场公式；
明确两个线圈平面正交导致磁场方向垂直；
合成时注意矢量的正交性，用勾股定理计算大小，用反正切确定方向。

线圈AA'的磁场计算

公式代入：
$B_A = \dfrac{n_A \mu_0 I_A}{2 r_A} = \dfrac{10 \cdot 4\pi \times 10^{-7} \cdot 10}{2 \cdot 0.2} = 250 \mu_0$
方向判断：
用右手螺旋定则，AA'线圈电流方向使磁场垂直平面向右。

线圈CC'的磁场计算

公式代入：
$B_C = \dfrac{n_C \mu_0 I_C}{2 r_C} = \dfrac{20 \cdot 4\pi \times 10^{-7} \cdot 5}{2 \cdot 0.1} = 500 \mu_0$
方向判断：
同理，CC'线圈磁场垂直平面向上（与AA'平面正交）。

磁感应强度合成

大小计算：
$B = \sqrt{B_A^2 + B_C^2} = \sqrt{(250 \mu_0)^2 + (500 \mu_0)^2} = 500 \sqrt{5} \mu_0 \approx 7.02 \times 10^{-4} \, \text{T}$
方向计算：
$\theta = \arctan\left(\dfrac{B_C}{B_A}\right) = \arctan(2) \approx 63.4^\circ$
方向在与两线圈平面均垂直的平面内，与CC'平面夹角为 $63.4^\circ$。