曲线 =(x)^4(e)^-(x^2)(xgeqslant 0) 与x轴围成的区域面积为 __

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是涉及幂函数与指数函数乘积的积分，需要掌握分部积分法或伽马函数的应用。

解题核心思路：
曲线与x轴围成的面积即为函数在定义域上的定积分。由于函数形式为$x^4 e^{-x^2}$，直接积分较复杂，需通过分部积分法逐步降幂，或利用伽马函数的性质快速求解。

破题关键点：

1. 确定积分区间：由$x \geq 0$且函数在$x \to \infty$时趋近于0，积分区间为$[0, +\infty)$。
2. 选择合适方法：分部积分法或伽马函数均可简化计算，需熟练掌握其应用条件。

步骤1：写出面积表达式
面积$S = \int_{0}^{+\infty} x^4 e^{-x^2} \, dx$。

步骤2：应用分部积分法
设$u = x^3$，$dv = x e^{-x^2} dx$，则$du = 3x^2 dx$，$v = -\frac{1}{2} e^{-x^2}$。
分部积分公式：
$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
代入得：
$\begin{aligned}\int x^4 e^{-x^2} dx &= -\frac{x^3 e^{-x^2}}{2} + \frac{3}{2} \int x^2 e^{-x^2} dx.\end{aligned}$

步骤3：计算剩余积分
已知$\int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4}$（可通过伽马函数或分部积分推导），代入得：
$S = \left[ -\frac{x^3 e^{-x^2}}{2} \right]_{0}^{+\infty} + \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{4}.$

步骤4：计算边界项
当$x \to +\infty$时，$x^3 e^{-x^2} \to 0$；当$x=0$时，项为0。因此边界项为0，最终结果为：
$S = \frac{3}{8} \sqrt{\pi}.$