题目
设A和B均为n阶方阵，且 A 与 B 相似，则下列说法错误的是 A .|A|=|B|B . A 和 B 有相同的特征多项式 C.R(A)=R(B)D 存在正交矩阵P，使得|A|=|B|
设A和B均为n阶方阵，且 A 与 B 相似，则下列说法错误的是
A .
B . A 和 B 有相同的特征多项式
C.R(A)=R(B)
D 存在正交矩阵P，使得
题目解答
答案
∵A 与 B 相似，
∴A与B的特征值相同，，R(A)=R(B)， A 和 B 有相同的特征多项式 ，存在可逆矩阵P，使得
故答案为D.
解析
步骤 1：相似矩阵的定义
相似矩阵的定义是：如果存在一个可逆矩阵P，使得${P}^{-1}AP=B$，则称矩阵A和B相似。相似矩阵具有相同的特征值，特征多项式，行列式和秩。
步骤 2：行列式
相似矩阵的行列式相等，即|A|=|B|。
步骤 3：特征多项式
相似矩阵有相同的特征多项式，因为它们有相同的特征值。
步骤 4：秩
相似矩阵的秩相等，即R(A)=R(B)。
步骤 5：正交矩阵
相似矩阵的定义中，P是可逆矩阵，但不一定为正交矩阵。正交矩阵是满足${P}^{-1}=P^T$的矩阵，而相似矩阵的定义中没有这个限制。
相似矩阵的定义是：如果存在一个可逆矩阵P，使得${P}^{-1}AP=B$，则称矩阵A和B相似。相似矩阵具有相同的特征值，特征多项式，行列式和秩。
步骤 2：行列式
相似矩阵的行列式相等，即|A|=|B|。
步骤 3：特征多项式
相似矩阵有相同的特征多项式，因为它们有相同的特征值。
步骤 4：秩
相似矩阵的秩相等，即R(A)=R(B)。
步骤 5：正交矩阵
相似矩阵的定义中，P是可逆矩阵，但不一定为正交矩阵。正交矩阵是满足${P}^{-1}=P^T$的矩阵，而相似矩阵的定义中没有这个限制。