[题目]-|||-证明:-|||-x -1 0 0-|||-0 x -1 0 =(a)_(3)(x)^3+(a)_(2)(x)^2+(a)_(1)x+(a)_(0)-|||-0 0 x -1-|||-a0 a1 a2 a3

考查要点：本题主要考查行列式的展开方法，特别是按列展开法的应用，以及递推展开的技巧。需要学生掌握行列式的展开规则，尤其是余子式前的符号因子。

解题核心思路：

1. 按第1列展开行列式，利用元素为0的特性简化计算。
2. 对展开后的子行列式继续按第1列展开，逐步降阶，最终得到多项式形式。
3. 符号因子的正确处理是关键，需注意余子式前的符号为$(-1)^{i+j}$。

破题关键点：

• 发现第1列中只有第1行和第4行的元素非零，从而简化展开步骤。
• 递归展开子行列式时，每次优先选择含零元素的列，降低计算复杂度。

行列式结构：
$D = \begin{vmatrix}x & -1 & 0 & 0 \\0 & x & -1 & 0 \\0 & 0 & x & -1 \\a_0 & a_1 & a_2 & a_3\end{vmatrix}$

按第1列展开

根据行列式展开规则，第1列元素为$x, 0, 0, a_0$，对应余子式为：
$D = x \cdot M_{11} \cdot (-1)^{1+1} + a_0 \cdot M_{41} \cdot (-1)^{4+1}$
其中：

• $M_{11}$是去掉第1行第1列后的子行列式：
  $M_{11} = \begin{vmatrix}x & -1 & 0 \\0 & x & -1 \\a_1 & a_2 & a_3\end{vmatrix}$
• $M_{41}$是去掉第4行第1列后的子行列式：
  $M_{41} = \begin{vmatrix}-1 & 0 & 0 \\x & -1 & 0 \\0 & x & -1\end{vmatrix}$

计算$M_{11}$

对$M_{11}$按第1列展开：
$M_{11} = x \cdot \begin{vmatrix}x & -1 \\a_2 & a_3\end{vmatrix} + a_1 \cdot \begin{vmatrix}-1 & 0 \\x & -1\end{vmatrix}$
计算各子行列式：

1. $\begin{vmatrix} x & -1 \\ a_2 & a_3 \end{vmatrix} = x a_3 + a_2$
2. $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ x & -1 \end{vmatrix} = 1$
   因此：
   $M_{11} = x(x a_3 + a_2) + a_1 \cdot 1 = x^2 a_3 + x a_2 + a_1$

计算$M_{41}$

$M_{41}$为下三角行列式，对角线元素均为$-1$，故：
$M_{41} = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$

合并结果

将$M_{11}$和$M_{41}$代入原式：
$D = x(x^2 a_3 + x a_2 + a_1) + a_0 \cdot (-1) \cdot (-1) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$